Theorem nnsuc 3235

Description: A non-zero natural number is a successor.

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	|- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 3231	. . . 4 |- (A e. om -> -. Lim A)
2	1	adantr 389	. . 3 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> -. Lim A)
3		orduninsuc 3197	. . . . . 6 |- (Ord A -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
4	3	adantr 389	. . . . 5 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
5		df-lim 2980	. . . . . . 7 |- (Lim A <-> (Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A))
6	5	biimpri 150	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A) -> Lim A)
7	6	3expia 841	. . . . 5 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (A = U.A -> Lim A))
8	4, 7	sylbird 203	. . . 4 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
9		nnord 3227	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
10	8, 9	sylan 450	. . 3 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
11	2, 10	mt3d 113	. 2 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. On A = suc x)
12		eleq1 1577	. . . . . . . 8 |- (A = suc x -> (A e. om <-> suc x e. om))
13	12	biimpcd 153	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (A = suc x -> suc x e. om))
14		peano2b 3234	. . . . . . 7 |- (x e. om <-> suc x e. om)
15	13, 14	syl6ibr 211	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A = suc x -> x e. om))
16	15	ancrd 297	. . . . 5 |- (A e. om -> (A = suc x -> (x e. om /\ A = suc x)))
17	16	adantld 390	. . . 4 |- (A e. om -> ((x e. On /\ A = suc x) -> (x e. om /\ A = suc x)))
18	17	r19.22dv2 1782	. . 3 |- (A e. om -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
19	18	adantr 389	. 2 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
20	11, 19	mpd 26	1 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  E.wrex 1692  (/)c0 2332  U.cuni 2569  Ord word 2974  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  suc csuc 2977  omcom 3218

This theorem is referenced by:  peano5 3241  nn0suc 3242  inf3lemd 4757

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219

Copyright terms: Public domain