Theorem nnsuc 3148

Description: A non-zero natural number is a successor.

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	|- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 3144	. . . 4 |- (A e. om -> -. Lim A)
2	1	adantr 389	. . 3 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> -. Lim A)
3		orduninsuc 3114	. . . . . 6 |- (Ord A -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
4	3	adantr 389	. . . . 5 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
5		df-lim 2953	. . . . . . 7 |- (Lim A <-> (Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A))
6	5	biimpr 152	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A) -> Lim A)
7	6	3expia 835	. . . . 5 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (A = U.A -> Lim A))
8	4, 7	sylbird 205	. . . 4 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
9		nnord 3140	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
10	8, 9	sylan 448	. . 3 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
11	2, 10	mt3d 114	. 2 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. On A = suc x)
12		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- (A = suc x -> (A e. om <-> suc x e. om))
13	12	biimpcd 155	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (A = suc x -> suc x e. om))
14		peano2b 3147	. . . . . . 7 |- (x e. om <-> suc x e. om)
15	13, 14	syl6ibr 213	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A = suc x -> x e. om))
16	15	ancrd 299	. . . . 5 |- (A e. om -> (A = suc x -> (x e. om /\ A = suc x)))
17	16	adantld 390	. . . 4 |- (A e. om -> ((x e. On /\ A = suc x) -> (x e. om /\ A = suc x)))
18	17	r19.22dv2 1736	. . 3 |- (A e. om -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
19	18	adantr 389	. 2 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
20	11, 19	mpd 26	1 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646  (/)c0 2280  U.cuni 2503  Ord word 2947  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  suc csuc 2950  omcom 3131

This theorem is referenced by:  peano5 3153  nn0suc 3154  inf3lemd 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain