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Theorem nnunb 10173
Description: The set of natural numbers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 853 . . . 4  |-  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y )
2 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
3 ltm1 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  <  x )
4 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  -  1 )  e. 
_V
5 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  e.  RR  <->  ( x  -  1 )  e.  RR ) )
6 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  x  <->  ( x  -  1 )  < 
x ) )
7 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  ( x  -  1 )  < 
z ) )
87rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  ( E. z  e.  NN  y  <  z  <->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) )
96, 8imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  ( (
x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) ) )
105, 9imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )  <-> 
( ( x  - 
1 )  e.  RR  ->  ( ( x  - 
1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) ) )
114, 10spcv 3002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( ( x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) )
123, 11syl7 65 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
132, 12syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
1413pm2.43d 46 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) )
15 df-rex 2672 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) )
1614, 15syl6ib 218 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z ) ) )
1716com12 29 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) ) )
18 nnre 9963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
19 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
20 ltsubadd 9454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  -  1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2119, 20mp3an2 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2218, 21sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2322pm5.32da 623 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
2423exbidv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
25 peano2nn 9968 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  +  1 )  e.  NN )
26 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
27 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
y  e.  NN  <->  ( z  +  1 )  e.  NN ) )
28 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
x  <  y  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2927, 28anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <-> 
( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
3026, 29spcev 3003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3125, 30sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3231exlimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  NN  /\  x  < 
( z  +  1 ) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3324, 32syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
3417, 33syld 42 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
35 df-ral 2671 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  A. y
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
36 df-ral 2671 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y
) )
37 alinexa 1585 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y )  <->  -.  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3836, 37bitr2i 242 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. y ( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <->  A. y  e.  NN  -.  x  < 
y )
3938con1bii 322 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
4034, 35, 393imtr4g 262 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  ->  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) )
4140anim2d 549 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A. y  e.  NN  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) ) )
421, 41mtoi 171 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
4342nrex 2768 . 2  |-  -.  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )
44 nnssre 9960 . . 3  |-  NN  C_  RR
45 1nn 9967 . . . . 5  |-  1  e.  NN
46 n0i 3593 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  -.  NN  =  (/) )
4745, 46ax-mp 8 . . . 4  |-  -.  NN  =  (/)
48 df-ne 2569 . . . 4  |-  ( NN  =/=  (/)  <->  -.  NN  =  (/) )
4947, 48mpbir 201 . . 3  |-  NN  =/=  (/)
50 sup2 9920 . . 3  |-  ( ( NN  C_  RR  /\  NN  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5144, 49, 50mp3an12 1269 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5243, 51mto 169 1  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    - cmin 9247   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  arch  10174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957
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