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Theorem nnunb 10217
Description: The set of natural numbers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 853 . . . 4  |-  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y )
2 peano2rem 9367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
3 ltm1 9850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  <  x )
4 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  -  1 )  e. 
_V
5 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  e.  RR  <->  ( x  -  1 )  e.  RR ) )
6 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  x  <->  ( x  -  1 )  < 
x ) )
7 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  ( x  -  1 )  < 
z ) )
87rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  ( E. z  e.  NN  y  <  z  <->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) )
96, 8imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  ( (
x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) ) )
105, 9imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )  <-> 
( ( x  - 
1 )  e.  RR  ->  ( ( x  - 
1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) ) )
114, 10spcv 3042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( ( x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) )
123, 11syl7 65 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
132, 12syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
1413pm2.43d 46 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) )
15 df-rex 2711 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) )
1614, 15syl6ib 218 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z ) ) )
1716com12 29 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) ) )
18 nnre 10007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
19 1re 9090 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
20 ltsubadd 9498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  -  1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2119, 20mp3an2 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2218, 21sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2322pm5.32da 623 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
2423exbidv 1636 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
25 peano2nn 10012 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  +  1 )  e.  NN )
26 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
27 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
y  e.  NN  <->  ( z  +  1 )  e.  NN ) )
28 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
x  <  y  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2927, 28anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <-> 
( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
3026, 29spcev 3043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3125, 30sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3231exlimiv 1644 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  NN  /\  x  < 
( z  +  1 ) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3324, 32syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
3417, 33syld 42 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
35 df-ral 2710 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  A. y
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
36 df-ral 2710 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y
) )
37 alinexa 1588 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y )  <->  -.  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3836, 37bitr2i 242 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. y ( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <->  A. y  e.  NN  -.  x  < 
y )
3938con1bii 322 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
4034, 35, 393imtr4g 262 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  ->  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) )
4140anim2d 549 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A. y  e.  NN  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) ) )
421, 41mtoi 171 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
4342nrex 2808 . 2  |-  -.  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )
44 nnssre 10004 . . 3  |-  NN  C_  RR
45 1nn 10011 . . . . 5  |-  1  e.  NN
46 n0i 3633 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  -.  NN  =  (/) )
4745, 46ax-mp 8 . . . 4  |-  -.  NN  =  (/)
4847neir 2604 . . 3  |-  NN  =/=  (/)
49 sup2 9964 . . 3  |-  ( ( NN  C_  RR  /\  NN  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5044, 48, 49mp3an12 1269 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5143, 50mto 169 1  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    - cmin 9291   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  arch  10218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001
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