Theorem nnwof 6399

Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element. This version allows x and y to be present in A as long as they are effectively not free.

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
nnwof.2	|- (z e. A -> A.y z e. A)

Assertion

Ref	Expression
nnwof	|- ((A (_ NN /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x <_ y)

Distinct variable groups:   x,y,z   z,A

Proof of Theorem nnwof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwo 6398	. 2 |- ((A (_ NN /\ A =/= (/)) -> E.w e. A A.v e. A w <_ v)
2		ax-17 969	. . . . . . . . . 10 |- (z e. v -> A.y z e. v)
3		nnwof.2	. . . . . . . . . 10 |- (z e. A -> A.y z e. A)
4	2, 3	hbel 1563	. . . . . . . . 9 |- (v e. A -> A.y v e. A)
5		ax-17 969	. . . . . . . . 9 |- (w <_ v -> A.y w <_ v)
6	4, 5	hbim 1005	. . . . . . . 8 |- ((v e. A -> w <_ v) -> A.y(v e. A -> w <_ v))
7		ax-17 969	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> w <_ y) -> A.v(y e. A -> w <_ y))
8		eleq1 1531	. . . . . . . . 9 |- (v = y -> (v e. A <-> y e. A))
9		breq2 2618	. . . . . . . . 9 |- (v = y -> (w <_ v <-> w <_ y))
10	8, 9	imbi12d 625	. . . . . . . 8 |- (v = y -> ((v e. A -> w <_ v) <-> (y e. A -> w <_ y)))
11	6, 7, 10	cbval 1163	. . . . . . 7 |- (A.v(v e. A -> w <_ v) <-> A.y(y e. A -> w <_ y))
12	11	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)) <-> (w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)))
13	12	exbii 1049	. . . . 5 |- (E.w(w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)) <-> E.w(w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)))
14		ax-17 969	. . . . . . . 8 |- (z e. w -> A.x z e. w)
15		nnwof.1	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> A.x z e. A)
16	14, 15	hbel 1563	. . . . . . 7 |- (w e. A -> A.x w e. A)
17		ax-17 969	. . . . . . . . . 10 |- (z e. y -> A.x z e. y)
18	17, 15	hbel 1563	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> A.x y e. A)
19		ax-17 969	. . . . . . . . 9 |- (w <_ y -> A.x w <_ y)
20	18, 19	hbim 1005	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> w <_ y) -> A.x(y e. A -> w <_ y))
21	20	hbal 1003	. . . . . . 7 |- (A.y(y e. A -> w <_ y) -> A.xA.y(y e. A -> w <_ y))
22	16, 21	hban 1007	. . . . . 6 |- ((w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)) -> A.x(w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)))
23		ax-17 969	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)) -> A.w(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
24		eleq1 1531	. . . . . . 7 |- (w = x -> (w e. A <-> x e. A))
25		breq1 2617	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (w <_ y <-> x <_ y))
26	25	imbi2d 611	. . . . . . . 8 |- (w = x -> ((y e. A -> w <_ y) <-> (y e. A -> x <_ y)))
27	26	albidv 1276	. . . . . . 7 |- (w = x -> (A.y(y e. A -> w <_ y) <-> A.y(y e. A -> x <_ y)))
28	24, 27	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (w = x -> ((w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)) <-> (x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y))))
29	22, 23, 28	cbvex 1164	. . . . 5 |- (E.w(w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
30	13, 29	bitr 173	. . . 4 |- (E.w(w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
31		df-rex 1647	. . . 4 |- (E.w e. A A.v(v e. A -> w <_ v) <-> E.w(w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)))
32		df-rex 1647	. . . 4 |- (E.x e. A A.y(y e. A -> x <_ y) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
33	30, 31, 32	3bitr4 183	. . 3 |- (E.w e. A A.v(v e. A -> w <_ v) <-> E.x e. A A.y(y e. A -> x <_ y))
34		df-ral 1646	. . . 4 |- (A.v e. A w <_ v <-> A.v(v e. A -> w <_ v))
35	34	rexbii 1665	. . 3 |- (E.w e. A A.v e. A w <_ v <-> E.w e. A A.v(v e. A -> w <_ v))
36		df-ral 1646	. . . 4 |- (A.y e. A x <_ y <-> A.y(y e. A -> x <_ y))
37	36	rexbii 1665	. . 3 |- (E.x e. A A.y e. A x <_ y <-> E.x e. A A.y(y e. A -> x <_ y))
38	33, 35, 37	3bitr4 183	. 2 |- (E.w e. A A.v e. A w <_ v <-> E.x e. A A.y e. A x <_ y)
39	1, 38	sylib 198	1 |- ((A (_ NN /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043  (/)c0 2276   class class class wbr 2614   <_ cle 5275  NNcn 5276

This theorem is referenced by:  nnwos 6400

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-uz 6358

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