MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwof Unicode version

Theorem nnwof 10287
Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element. This version allows  x and  y to be present in  A as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnwof.1  |-  F/_ x A
nnwof.2  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
nnwof  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem nnwof
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnwo 10286 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v )
2 nfcv 2421 . . 3  |-  F/_ w A
3 nnwof.1 . . 3  |-  F/_ x A
4 nfv 1607 . . . 4  |-  F/ x  w  <_  v
53, 4nfral 2598 . . 3  |-  F/ x A. v  e.  A  w  <_  v
6 nfv 1607 . . 3  |-  F/ w A. y  e.  A  x  <_  y
7 breq1 4028 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
w  <_  v  <->  x  <_  v ) )
87ralbidv 2565 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. v  e.  A  x  <_  v ) )
9 nfcv 2421 . . . . 5  |-  F/_ v A
10 nnwof.2 . . . . 5  |-  F/_ y A
11 nfv 1607 . . . . 5  |-  F/ y  x  <_  v
12 nfv 1607 . . . . 5  |-  F/ v  x  <_  y
13 breq2 4029 . . . . 5  |-  ( v  =  y  ->  (
x  <_  v  <->  x  <_  y ) )
149, 10, 11, 12, 13cbvralf 2760 . . . 4  |-  ( A. v  e.  A  x  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y )
158, 14syl6bb 252 . . 3  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
162, 3, 5, 6, 15cbvrexf 2761 . 2  |-  ( E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
171, 16sylib 188 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625   F/_wnfc 2408    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   (/)c0 3457   class class class wbr 4025    <_ cle 8870   NNcn 9748
This theorem is referenced by:  nnwos  10288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233
  Copyright terms: Public domain W3C validator