MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwof Structured version   Unicode version

Theorem nnwof 10535
Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element. This version allows  x and  y to be present in  A as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnwof.1  |-  F/_ x A
nnwof.2  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
nnwof  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem nnwof
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnwo 10534 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v )
2 nfcv 2571 . . 3  |-  F/_ w A
3 nnwof.1 . . 3  |-  F/_ x A
4 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ x  w  <_  v
53, 4nfral 2751 . . 3  |-  F/ x A. v  e.  A  w  <_  v
6 nfv 1629 . . 3  |-  F/ w A. y  e.  A  x  <_  y
7 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
w  <_  v  <->  x  <_  v ) )
87ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. v  e.  A  x  <_  v ) )
9 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ v A
10 nnwof.2 . . . . 5  |-  F/_ y A
11 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ y  x  <_  v
12 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ v  x  <_  y
13 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( v  =  y  ->  (
x  <_  v  <->  x  <_  y ) )
149, 10, 11, 12, 13cbvralf 2918 . . . 4  |-  ( A. v  e.  A  x  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y )
158, 14syl6bb 253 . . 3  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
162, 3, 5, 6, 15cbvrexf 2919 . 2  |-  ( E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
171, 16sylib 189 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   F/_wnfc 2558    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    <_ cle 9113   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  nnwos  10536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
  Copyright terms: Public domain W3C validator