Theorem nnwos 6461

Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element (schema form).

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	|- (x = y -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
nnwos	|- (E.x e. NN ph -> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))

Distinct variable groups:   x,y   ph,y   ps,x

Proof of Theorem nnwos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbrab1 1775	. . 3 |- (z e. {x e. NN | ph} -> A.x z e. {x e. NN | ph})
2		ax-17 973	. . 3 |- (z e. {x e. NN | ph} -> A.y z e. {x e. NN | ph})
3	1, 2	nnwof 6460	. 2 |- (({x e. NN | ph} (_ NN /\ {x e. NN | ph} =/= (/)) -> E.x e. {x e. NN | ph}A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y)
4		ssrab2 2134	. . . 4 |- {x e. NN | ph} (_ NN
5	4	biantrur 727	. . 3 |- ({x e. NN | ph} =/= (/) <-> ({x e. NN | ph} (_ NN /\ {x e. NN | ph} =/= (/)))
6		rabn0 2296	. . 3 |- ({x e. NN | ph} =/= (/) <-> E.x e. NN ph)
7	5, 6	bitr3 175	. 2 |- (({x e. NN | ph} (_ NN /\ {x e. NN | ph} =/= (/)) <-> E.x e. NN ph)
8		df-rex 1653	. . 3 |- (E.x e. {x e. NN | ph}A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> E.x(x e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y))
9		rabid 1772	. . . . 5 |- (x e. {x e. NN | ph} <-> (x e. NN /\ ph))
10		df-ral 1652	. . . . . 6 |- (A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> A.y(y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y))
11		nnwos.1	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (ph <-> ps))
12	11	elrab 1908	. . . . . . . . 9 |- (y e. {x e. NN | ph} <-> (y e. NN /\ ps))
13	12	imbi1i 186	. . . . . . . 8 |- ((y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y) <-> ((y e. NN /\ ps) -> x <_ y))
14		impexp 347	. . . . . . . 8 |- (((y e. NN /\ ps) -> x <_ y) <-> (y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y) <-> (y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
16	15	albii 1001	. . . . . 6 |- (A.y(y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y) <-> A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
17	10, 16	bitr 173	. . . . 5 |- (A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
18	9, 17	anbi12i 484	. . . 4 |- ((x e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y) <-> ((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))))
19	18	exbii 1053	. . 3 |- (E.x(x e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y) <-> E.x((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))))
20		df-ral 1652	. . . . . . 7 |- (A.y e. NN (ps -> x <_ y) <-> A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
21	20	anbi2i 482	. . . . . 6 |- (((x e. NN /\ ph) /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)) <-> ((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))))
22		anass 441	. . . . . 6 |- (((x e. NN /\ ph) /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)) <-> (x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
23	21, 22	bitr3 175	. . . . 5 |- (((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))) <-> (x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
24	23	exbii 1053	. . . 4 |- (E.x((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))) <-> E.x(x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
25		df-rex 1653	. . . 4 |- (E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)) <-> E.x(x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
26	24, 25	bitr4 176	. . 3 |- (E.x((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))) <-> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))
27	8, 19, 26	3bitr 177	. 2 |- (E.x e. {x e. NN | ph}A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))
28	3, 7, 27	3imtr3 218	1 |- (E.x e. NN ph -> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624   <_ cle 5307  NNcn 5308

This theorem is referenced by:  indstr 6462  infpnlem2 7508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain