MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnz Unicode version

Theorem nnz 10061
Description: A natural number is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 10059 . 2  |-  NN  C_  ZZ
21sseli 3189 1  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   NNcn 9762   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  elnnz1  10065  znegcl  10071  nnleltp1  10087  nnltp1le  10088  nnlem1lt  10096  nnltlem1  10097  prime  10108  nneo  10111  zeo  10113  uzindOLD  10122  btwnz  10130  eluz2b2  10306  qaddcl  10348  qreccl  10352  elfz1end  10836  fznn  10868  elfzo0  10920  quoremz  10975  intfracq  10979  fznnfl  10982  zmodcl  11005  zmodfz  11007  zmodfzo  11008  expnnval  11123  mulexpz  11158  nnesq  11241  expnlbnd  11247  expnlbnd2  11248  digit2  11250  faclbnd  11319  bcval5  11346  fz1isolem  11415  seqcoll  11417  absexpz  11806  climuni  12042  isercoll  12157  climcnds  12326  arisum  12334  trireciplem  12336  expcnv  12338  geo2sum  12345  geo2lim  12347  0.999...  12353  geoihalfsum  12354  rpnnen2lem6  12514  rpnnen2lem9  12517  rpnnen2lem10  12518  dvdsval3  12551  nndivdvds  12553  dvdsle  12590  dvdseq  12592  fzm1ndvds  12596  dvdsfac  12599  oexpneg  12606  divalg2  12620  divalgmod  12621  ndvdsadd  12623  modgcd  12731  gcddiv  12744  gcdmultiple  12745  gcdmultiplez  12746  gcdeq  12747  rpmulgcd  12750  rplpwr  12751  rppwr  12752  sqgcd  12753  dvdssqlem  12754  dvdssq  12755  eucalginv  12770  1idssfct  12780  isprm3  12783  prmind2  12785  qredeq  12801  qredeu  12802  isprm6  12804  divgcdodd  12814  divnumden  12835  divdenle  12836  nn0gcdsq  12839  phicl2  12852  phiprmpw  12860  eulerthlem2  12866  pythagtriplem3  12887  pythagtriplem4  12888  pythagtriplem6  12890  pythagtriplem7  12891  pythagtriplem8  12892  pythagtriplem9  12893  pythagtriplem11  12894  pythagtriplem13  12896  pythagtriplem15  12898  pythagtriplem19  12902  pythagtrip  12903  iserodd  12904  pclem  12907  pccl  12918  pcdiv  12921  pcqcl  12925  pcdvds  12932  pcndvds  12934  pcndvds2  12936  pcelnn  12938  pcz  12949  pcmpt  12956  fldivp1  12961  pcfac  12963  infpnlem1  12973  prmunb  12977  prmreclem1  12979  1arith  12990  0hashbc  13070  ram0  13085  mulgnn  14589  ghmmulg  14711  dfod2  14893  gexdvds  14911  gexnnod  14915  gexex  15161  mulgass2  15403  qsssubdrg  16447  prmirredlem  16462  znidomb  16531  znrrg  16535  lmmo  17124  1stckgenlem  17264  imasdsf1olem  17953  clmmulg  18607  cmetcaulem  18730  ovolunlem1a  18871  ovolicc2lem4  18895  mbfi1fseqlem6  19091  dvexp3  19341  dgreq0  19662  elqaalem2  19716  aaliou3lem1  19738  aaliou3lem2  19739  aaliou3lem3  19740  aaliou3lem9  19746  pserdvlem2  19820  logtayl2  20025  root1eq1  20111  root1cj  20112  atantayl2  20250  birthdaylem2  20263  birthdaylem3  20264  emcllem5  20309  basellem2  20335  basellem3  20336  basellem5  20338  sgmss  20360  issqf  20390  sgmnncl  20401  prmorcht  20432  mumullem1  20433  mumullem2  20434  sqff1o  20436  dvdsdivcl  20437  dvdsflsumcom  20444  muinv  20449  vmalelog  20460  chtublem  20466  vmasum  20471  logfac2  20472  logfaclbnd  20477  bclbnd  20535  bposlem5  20543  lgsval4a  20573  lgssq  20590  lgssq2  20591  lgsdchr  20603  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  lgsquad3  20616  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  dchrisumlem2  20655  dchrmusumlema  20658  dchrmusum2  20659  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmaeq0  20669  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0re  20678  dchrisum0lema  20679  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem2a  20682  logdivbnd  20721  pntrsumbnd2  20732  ostth2lem1  20783  ostth2lem3  20800  ostth3  20803  gxpval  20942  gxcom  20952  gxinv  20953  gxid  20956  gxmodid  20962  gxdi  20979  bcm1n  23048  elfzo1  23294  esumcvg  23469  erdszelem7  23743  climuzcnv  24019  elfzm12  24023  zmodid2  24025  fznatpl1  24108  axlowdimlem13  24654  cntrset  25705  nn0prpwlem  26341  fzmul  26546  incsequz  26561  geomcau  26578  heibor1lem  26636  bfplem2  26650  fzsplit1nn0  26936  irrapxlem1  27010  pellexlem5  27021  rmynn  27146  jm2.24nn  27149  jm2.17c  27152  congrep  27163  congabseq  27164  acongrep  27170  acongeq  27173  jm2.18  27184  jm2.23  27192  jm2.20nn  27193  jm2.26lem3  27197  jm2.26  27198  jm2.15nn0  27199  jm2.16nn0  27200  jm2.27dlem2  27206  rmydioph  27210  jm3.1  27216  expdiophlem1  27217  expdioph  27219  idomodle  27615  hashgcdlem  27619  hashgcdeq  27620  phisum  27621  proot1ex  27623  fmuldfeq  27816  stoweidlem1  27853  stoweidlem3  27855  stoweidlem7  27859  stoweidlem11  27863  stoweidlem20  27872  stoweidlem26  27878  stoweidlem34  27886  stoweidlem51  27903  wallispilem4  27920  stirlinglem2  27927  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem12  27937  stirlinglem13  27938  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940  stirlingr  27942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-z 10041
  Copyright terms: Public domain W3C validator