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Theorem nofulllem1 25657
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  R is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, L    y, R    z, R
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem1
StepHypRef Expression
1 nobndup 25655 . . 3  |-  ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
213ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
3 raleq 2904 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
< s y  <->  A. y  e.  (/)  z < s
y ) )
4 uneq2 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( L  u.  (/) ) )
5 un0 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  u.  (/) )  =  L
64, 5syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  L )
76imaeq2d 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " L
) )
87unieqd 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " L
) )
9 suceq 4646 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " L )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " L ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " L ) )
1110sseq2d 3376 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " L ) ) )
123, 11anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. y  e.  (/)  z <
s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) ) )
13 ral0 3732 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z < s
y
1413biantrur 493 . . . . . 6  |-  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  (/)  z < s
y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
1512, 14syl6rbbr 256 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1615anbi2d 685 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) ) )
17 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1816, 17syl6bbr 255 . . 3  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z
< s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2726 . 2  |-  ( R  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 211 1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   suc csuc 4583   "cima 4881   ` cfv 5454   Nocsur 25595   < scslt 25596   bdaycbday 25597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-2o 6725  df-no 25598  df-slt 25599  df-bday 25600
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