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Theorem nofulllem5 25661
Description: Lemma for nofull (future) . Here, we introduce a new surreal number  X. Eventually, we will show that either  X or a related surreal number has the required properties for the final theorem. We begin by calculating the domain of  X. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nofulllem5.1  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
nofulllem5.2  |-  S  =  { f  |  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f ) }
nofulllem5.3  |-  X  = 
U. S
Assertion
Ref Expression
nofulllem5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  dom  X  =  U. M )
Distinct variable groups:    x, L, y, f, g, h, a   
x, R, y, h, f, g, a    x, W, y, f, g, h, a    x, V, y, f, g, h, a    M, a, f, g, h
Allowed substitution hints:    S( x, y, f, g, h, a)    M( x, y)    X( x, y, f, g, h, a)

Proof of Theorem nofulllem5
Dummy variables  b 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nofulllem5.3 . . . 4  |-  X  = 
U. S
21dmeqi 5071 . . 3  |-  dom  X  =  dom  U. S
3 dmuni 5079 . . 3  |-  dom  U. S  =  U_ b  e.  S  dom  b
42, 3eqtri 2456 . 2  |-  dom  X  =  U_ b  e.  S  dom  b
5 iunss 4132 . . . . 5  |-  ( U_ b  e.  S  dom  b  C_  U. M  <->  A. b  e.  S  dom  b  C_  U. M )
6 vex 2959 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
7 eqeq2 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  b  ->  (
( g  |`  a
)  =  f  <->  ( g  |`  a )  =  b ) )
8 eqeq2 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  b  ->  (
( h  |`  a
)  =  f  <->  ( h  |`  a )  =  b ) )
97, 8anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  b  ->  (
( ( g  |`  a )  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f )  <->  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b ) ) )
109rexbidv 2726 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  b  ->  ( E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f )  <->  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b ) ) )
11102rexbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( f  =  b  ->  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f )  <->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b ) ) )
12 nofulllem5.2 . . . . . . 7  |-  S  =  { f  |  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f ) }
136, 11, 12elab2 3085 . . . . . 6  |-  ( b  e.  S  <->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( (
g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b ) )
14 inss1 3561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  i^i  dom  g )  C_  a
15 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  M  ->  a  C_ 
U. M )
1614, 15syl5ss 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  M  ->  (
a  i^i  dom  g ) 
C_  U. M )
17 dmres 5167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
g  |`  a )  =  ( a  i^i  dom  g )
18 dmeq 5070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  |`  a )  =  b  ->  dom  (
g  |`  a )  =  dom  b )
1917, 18syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  |`  a )  =  b  ->  ( a  i^i  dom  g )  =  dom  b )
2019sseq1d 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  |`  a )  =  b  ->  ( ( a  i^i  dom  g
)  C_  U. M  <->  dom  b  C_  U. M ) )
2116, 20syl5ibcom 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  M  ->  (
( g  |`  a
)  =  b  ->  dom  b  C_  U. M
) )
2221adantrd 455 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  M  ->  (
( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  ->  dom  b  C_  U. M ) )
2322rexlimiv 2824 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  M  ( ( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  ->  dom  b  C_  U. M
)
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  L  /\  h  e.  R )  ->  ( E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  ->  dom  b  C_  U. M ) )
2524rexlimivv 2835 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  ->  dom  b  C_  U. M
)
2613, 25sylbi 188 . . . . 5  |-  ( b  e.  S  ->  dom  b  C_  U. M )
275, 26mprgbir 2776 . . . 4  |-  U_ b  e.  S  dom  b  C_  U. M
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  U_ b  e.  S  dom  b  C_  U. M )
29 nofulllem5.1 . . . . . . . . 9  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
3029nofulllem4 25660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  M  e.  On )
31 eloni 4591 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  On  ->  Ord  M )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  Ord  M )
33 ordsucuniel 4804 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
M  ->  ( j  e.  U. M  <->  suc  j  e.  M ) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  (
j  e.  U. M  <->  suc  j  e.  M ) )
35 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  suc  j  e.  M )
36 onss 4771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  On  ->  M  C_  On )
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  M  C_  On )
3837sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  suc  j  e.  On )
39 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  C_  On
40 onnmin 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }  C_  On  /\  suc  j  e. 
{ a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) } )  ->  -.  suc  j  e. 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) } )
4139, 40mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  j  e.  { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  ->  -.  suc  j  e.  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) } )
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) } )  ->  -.  suc  j  e.  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) } )
4329eleq2i 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc  j  e.  M  <->  suc  j  e. 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) } )
4442, 43sylnibr 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) } )  ->  -.  suc  j  e.  M
)
4544ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  ( suc  j  e.  { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  ->  -.  suc  j  e.  M
) )
4645con2d 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  ( suc  j  e.  M  ->  -.  suc  j  e. 
{ a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) } ) )
4746imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  -.  suc  j  e.  { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) } )
48 reseq2 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( x  |`  a
)  =  ( x  |`  suc  j ) )
49 reseq2 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( y  |`  a
)  =  ( y  |`  suc  j ) )
5048, 49neeq12d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  ( x  |` 
suc  j )  =/=  ( y  |`  suc  j
) ) )
51502ralbidv 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
suc  j )  =/=  ( y  |`  suc  j
) ) )
52 reseq1 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  g  ->  (
x  |`  suc  j )  =  ( g  |`  suc  j ) )
5352neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  g  ->  (
( x  |`  suc  j
)  =/=  ( y  |`  suc  j )  <->  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( y  |`  suc  j
) ) )
54 reseq1 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  h  ->  (
y  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j ) )
5554neeq2d 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  (
( g  |`  suc  j
)  =/=  ( y  |`  suc  j )  <->  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) ) )
5653, 55cbvral2v 2940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  suc  j )  =/=  ( y  |`  suc  j )  <->  A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) )
5751, 56syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) ) )
5857elrab 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  <->  ( suc  j  e.  On  /\  A. g  e.  L  A. h  e.  R  (
g  |`  suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j ) ) )
5947, 58sylnib 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  -.  ( suc  j  e.  On  /\ 
A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |`  suc  j
)  =/=  ( h  |`  suc  j ) ) )
60 imnan 412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  j  e.  On  ->  -.  A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |`  suc  j )  =/=  (
h  |`  suc  j ) )  <->  -.  ( suc  j  e.  On  /\  A. g  e.  L  A. h  e.  R  (
g  |`  suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j ) ) )
6159, 60sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  ( suc  j  e.  On  ->  -. 
A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |`  suc  j
)  =/=  ( h  |`  suc  j ) ) )
6238, 61mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  -.  A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) )
63 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  |`  suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j )  <->  -.  (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j ) )
6463con2bii 323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  <->  -.  (
g  |`  suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j ) )
6564rexbii 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. h  e.  R  ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  <->  E. h  e.  R  -.  (
g  |`  suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j ) )
66 rexnal 2716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. h  e.  R  -.  ( g  |`  suc  j
)  =/=  ( h  |`  suc  j )  <->  -.  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) )
6765, 66bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. h  e.  R  ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  <->  -.  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) )
6867rexbii 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  <->  E. g  e.  L  -.  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) )
69 rexnal 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  L  -.  A. h  e.  R  ( g  |`  suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j )  <->  -.  A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) )
7068, 69bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  <->  -.  A. g  e.  L  A. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =/=  ( h  |`  suc  j
) )
7162, 70sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( g  |` 
suc  j )  =  ( h  |`  suc  j
) )
72 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )
73 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  g  ->  (
x < s y  <-> 
g < s y ) )
74 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  h  ->  (
g < s y  <-> 
g < s h ) )
7573, 74rspc2v 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g  e.  L  /\  h  e.  R )  ->  ( A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s
y  ->  g < s h ) )
7672, 75mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) )  ->  g
< s h )
7776adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
g < s h )
78 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  L  C_  No )
79 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) )  ->  g  e.  L )
80 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  C_  No  /\  g  e.  L )  ->  g  e.  No )
8178, 79, 80syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
g  e.  No )
82 sltirr 25625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  No  ->  -.  g < s g )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  -.  g < s g )
84 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  h  ->  (
g < s g  <-> 
g < s h ) )
8584biimprcd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g < s h  -> 
( g  =  h  ->  g < s
g ) )
8685con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g < s h  -> 
( -.  g <
s g  ->  -.  g  =  h )
)
8777, 83, 86sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  -.  g  =  h
)
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  ( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j ) )  ->  -.  g  =  h )
89 ioran 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  <->  ( -.  j  e.  dom  g  /\  -.  j  e.  dom  h ) )
90 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  R  C_  No )
91 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) )  ->  h  e.  R )
92 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( R  C_  No  /\  h  e.  R )  ->  h  e.  No )
9390, 91, 92syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  h  e.  No )
9493adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  h  e.  No )
95 nofun 25604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  e.  No  ->  Fun  h )
96 funrel 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Fun  h  ->  Rel  h )
9794, 95, 963syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  Rel  h )
9832adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  Ord  M )
99 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  suc  j  e.  M
)
100 ordelon 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Ord  M  /\  suc  j  e.  M )  ->  suc  j  e.  On )
10198, 99, 100syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  suc  j  e.  On )
102 sucelon 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  On  <->  suc  j  e.  On )
103101, 102sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
j  e.  On )
104 eloni 4591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  On  ->  Ord  j )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  Ord  j )
106 nodmord 25608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( h  e.  No  ->  Ord  dom  h )
10793, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  Ord  dom  h )
108 ordtri2or 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Ord  j  /\  Ord  dom  h )  ->  (
j  e.  dom  h  \/  dom  h  C_  j
) )
109105, 107, 108syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( j  e.  dom  h  \/  dom  h  C_  j ) )
110109orcanai 880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  dom  h  C_  j )
111 sssucid 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  j  C_  suc  j
112110, 111syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  dom  h  C_  suc  j )
113 relssres 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  h  /\  dom  h  C_  suc  j )  ->  ( h  |`  suc  j )  =  h )
11497, 112, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  (
h  |`  suc  j )  =  h )
115114ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( -.  j  e. 
dom  h  ->  (
h  |`  suc  j )  =  h ) )
11681adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  g )  ->  g  e.  No )
117 nofun 25604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( g  e.  No  ->  Fun  g )
118 funrel 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Fun  g  ->  Rel  g )
119116, 117, 1183syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  g )  ->  Rel  g )
120 nodmord 25608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g  e.  No  ->  Ord  dom  g )
12181, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  ->  Ord  dom  g )
122 ordtri2or 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Ord  j  /\  Ord  dom  g )  ->  (
j  e.  dom  g  \/  dom  g  C_  j
) )
123105, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( j  e.  dom  g  \/  dom  g  C_  j ) )
124123orcanai 880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  g )  ->  dom  g  C_  j )
125124, 111syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  g )  ->  dom  g  C_  suc  j )
126 relssres 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Rel  g  /\  dom  g  C_  suc  j )  ->  ( g  |`  suc  j )  =  g )
127119, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  -.  j  e.  dom  g )  ->  (
g  |`  suc  j )  =  g )
128127ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( -.  j  e. 
dom  g  ->  (
g  |`  suc  j )  =  g ) )
129115, 128anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( ( -.  j  e.  dom  h  /\  -.  j  e.  dom  g )  ->  ( ( h  |`  suc  j )  =  h  /\  ( g  |`  suc  j )  =  g ) ) )
130129ancomsd 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( ( -.  j  e.  dom  g  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  ( ( h  |`  suc  j )  =  h  /\  ( g  |`  suc  j )  =  g ) ) )
131 eqeq12 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g  |`  suc  j
)  =  g  /\  ( h  |`  suc  j
)  =  h )  ->  ( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j
)  <->  g  =  h ) )
132131biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g  |`  suc  j
)  =  g  /\  ( h  |`  suc  j
)  =  h )  ->  ( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j
)  ->  g  =  h ) )
133132ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h  |`  suc  j
)  =  h  /\  ( g  |`  suc  j
)  =  g )  ->  ( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j
)  ->  g  =  h ) )
134130, 133syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( ( -.  j  e.  dom  g  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  ( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j
)  ->  g  =  h ) ) )
135134com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  ->  ( ( -.  j  e.  dom  g  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  g  =  h ) ) )
136135imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  ( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j ) )  ->  ( ( -.  j  e.  dom  g  /\  -.  j  e.  dom  h )  ->  g  =  h ) )
13789, 136syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  ( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j ) )  ->  ( -.  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  ->  g  =  h ) )
13888, 137mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  /\  ( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j ) )  ->  ( j  e. 
dom  g  \/  j  e.  dom  h ) )
139138ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  ( suc  j  e.  M  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R
) ) )  -> 
( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  ->  ( j  e. 
dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) )
140139anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  /\  ( g  e.  L  /\  h  e.  R ) )  -> 
( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  ->  ( j  e. 
dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) )
141140anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  /\  g  e.  L )  /\  h  e.  R )  ->  (
( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j )  -> 
( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) )
142141ancld 537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  /\  g  e.  L )  /\  h  e.  R )  ->  (
( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j )  -> 
( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  ( j  e. 
dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) ) )
143142reximdva 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  /\  g  e.  L )  ->  ( E. h  e.  R  ( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j )  ->  E. h  e.  R  ( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  ( j  e. 
dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) ) )
144143reximdva 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  ->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) ) )
14571, 144mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) )
146 reseq2 5141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( g  |`  a
)  =  ( g  |`  suc  j ) )
147 reseq2 5141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( h  |`  a
)  =  ( h  |`  suc  j ) )
148146, 147eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  <->  ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j ) ) )
149 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( j  e.  a  <-> 
j  e.  suc  j
) )
150148, 1493anbi13d 1256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  ( (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  suc  j ) ) )
151 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
152151sucid 4660 . . . . . . . . . . . 12  |-  j  e. 
suc  j
153 df-3an 938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  suc  j )  <->  ( (
( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h ) )  /\  j  e.  suc  j ) )
154152, 153mpbiran2 886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  |`  suc  j
)  =  ( h  |`  suc  j )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  suc  j )  <->  ( (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) )
155150, 154syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  ( (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) ) )
1561552rexbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  suc  j  -> 
( E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( (
g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) ) )
157156rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  j  e.  M  /\  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( ( g  |`  suc  j )  =  ( h  |`  suc  j )  /\  ( j  e. 
dom  g  \/  j  e.  dom  h ) ) )  ->  E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
15835, 145, 157syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  /\  suc  j  e.  M
)  ->  E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
159158ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  ( suc  j  e.  M  ->  E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a ) ) )
16034, 159sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  (
j  e.  U. M  ->  E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a ) ) )
161 eliun 4097 . . . . . 6  |-  ( j  e.  U_ b  e.  S  dom  b  <->  E. b  e.  S  j  e.  dom  b )
16212rexeqi 2909 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  S  j  e.  dom  b  <->  E. b  e.  { f  |  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f ) } j  e.  dom  b
)
163 r19.41v 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  ( E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
164163rexbii 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  E. h  e.  R  ( E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
165 r19.41v 2861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  R  ( E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
166164, 165bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
167166rexbii 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  E. g  e.  L  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
168 r19.41v 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  L  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
169167, 168bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
170169exbii 1592 . . . . . . 7  |-  ( E. b E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  (
h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b )  <->  E. b
( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
171 rexcom 2869 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. g  e.  L  E. a  e.  M  E. h  e.  R  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
172 rexcom 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  M  E. h  e.  R  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
173172rexbii 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  L  E. a  e.  M  E. h  e.  R  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
174171, 173bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
175 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  h  e. 
_V
176175resex 5186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  |`  a )  e.  _V
177 eqeq2 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( h  |`  a )  ->  (
( g  |`  a
)  =  b  <->  ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )
) )
178 dmeq 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( h  |`  a )  ->  dom  b  =  dom  ( h  |`  a ) )
179178eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( h  |`  a )  ->  (
j  e.  dom  b  <->  j  e.  dom  ( h  |`  a ) ) )
180177, 179anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( h  |`  a )  ->  (
( ( g  |`  a )  =  b  /\  j  e.  dom  b )  <->  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  j  e.  dom  ( h  |`  a
) ) ) )
181176, 180ceqsexv 2991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( b  =  ( h  |`  a
)  /\  ( (
g  |`  a )  =  b  /\  j  e. 
dom  b ) )  <-> 
( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  /\  j  e.  dom  ( h  |`  a ) ) )
182 an12 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( h  |`  a
)  =  b  /\  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  j  e.  dom  b ) )  <->  ( (
g  |`  a )  =  b  /\  ( ( h  |`  a )  =  b  /\  j  e.  dom  b ) ) )
183 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( h  |`  a )  <->  ( h  |`  a )  =  b )
184183anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  =  ( h  |`  a )  /\  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  j  e.  dom  b ) )  <->  ( ( h  |`  a )  =  b  /\  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  j  e.  dom  b ) ) )
185 anass 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  ( (
g  |`  a )  =  b  /\  ( ( h  |`  a )  =  b  /\  j  e.  dom  b ) ) )
186182, 184, 1853bitr4i 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  =  ( h  |`  a )  /\  (
( g  |`  a
)  =  b  /\  j  e.  dom  b ) )  <->  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  (
h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
187186exbii 1592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b ( b  =  ( h  |`  a
)  /\  ( (
g  |`  a )  =  b  /\  j  e. 
dom  b ) )  <->  E. b ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  (
h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b ) )
188 dmeq 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  ->  dom  ( g  |`  a
)  =  dom  (
h  |`  a ) )
189188eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  ->  (
j  e.  dom  (
g  |`  a )  <->  j  e.  dom  ( h  |`  a
) ) )
190189orbi1d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  ->  (
( j  e.  dom  ( g  |`  a
)  \/  j  e. 
dom  ( h  |`  a ) )  <->  ( j  e.  dom  ( h  |`  a )  \/  j  e.  dom  ( h  |`  a ) ) ) )
191 oridm 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  dom  (
h  |`  a )  \/  j  e.  dom  (
h  |`  a ) )  <-> 
j  e.  dom  (
h  |`  a ) )
192190, 191syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  ->  (
j  e.  dom  (
h  |`  a )  <->  ( j  e.  dom  ( g  |`  a )  \/  j  e.  dom  ( h  |`  a ) ) ) )
193 incom 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  i^i  dom  g )  =  ( dom  g  i^i  a )
19417, 193eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  (
g  |`  a )  =  ( dom  g  i^i  a )
195194elin2 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  dom  ( g  |`  a )  <->  ( j  e.  dom  g  /\  j  e.  a ) )
196 dmres 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  (
h  |`  a )  =  ( a  i^i  dom  h )
197 incom 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  i^i  dom  h )  =  ( dom  h  i^i  a )
198196, 197eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  (
h  |`  a )  =  ( dom  h  i^i  a )
199198elin2 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  dom  ( h  |`  a )  <->  ( j  e.  dom  h  /\  j  e.  a ) )
200195, 199orbi12i 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  dom  (
g  |`  a )  \/  j  e.  dom  (
h  |`  a ) )  <-> 
( ( j  e. 
dom  g  /\  j  e.  a )  \/  (
j  e.  dom  h  /\  j  e.  a
) ) )
201 andir 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  ( (
j  e.  dom  g  /\  j  e.  a
)  \/  ( j  e.  dom  h  /\  j  e.  a )
) )
202200, 201bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  dom  (
g  |`  a )  \/  j  e.  dom  (
h  |`  a ) )  <-> 
( ( j  e. 
dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
203192, 202syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  |`  a )  =  ( h  |`  a )  ->  (
j  e.  dom  (
h  |`  a )  <->  ( (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a ) ) )
204203pm5.32i 619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  j  e.  dom  ( h  |`  a ) )  <->  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a ) ) )
205 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a ) ) )
206204, 205bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  j  e.  dom  ( h  |`  a ) )  <->  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
207181, 187, 2063bitr3ri 268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. b
( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
208207rexbii 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a  e.  M  ( ( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. a  e.  M  E. b
( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
209 rexcom4 2975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a  e.  M  E. b ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  (
h  |`  a )  =  b )  /\  j  e.  dom  b )  <->  E. b E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
210208, 209bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  M  ( ( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. b E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
211210rexbii 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. h  e.  R  E. b E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
212 rexcom4 2975 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. h  e.  R  E. b E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  E. b E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
213211, 212bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. b E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
214213rexbii 2730 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. g  e.  L  E. b E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
215 rexcom4 2975 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  L  E. b E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b )  <->  E. b E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
216174, 214, 2153bitri 263 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  (
( g  |`  a
)  =  ( h  |`  a )  /\  (
j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )  <->  E. b E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
21711rexab 3097 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  { f  |  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f ) } j  e. 
dom  b  <->  E. b
( E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  b  /\  ( h  |`  a )  =  b )  /\  j  e. 
dom  b ) )
218170, 216, 2173bitr4ri 270 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  { f  |  E. g  e.  L  E. h  e.  R  E. a  e.  M  ( ( g  |`  a )  =  f  /\  ( h  |`  a )  =  f ) } j  e. 
dom  b  <->  E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
219161, 162, 2183bitri 263 . . . . 5  |-  ( j  e.  U_ b  e.  S  dom  b  <->  E. a  e.  M  E. g  e.  L  E. h  e.  R  ( (
g  |`  a )  =  ( h  |`  a
)  /\  ( j  e.  dom  g  \/  j  e.  dom  h )  /\  j  e.  a )
)
220160, 219syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  (
j  e.  U. M  ->  j  e.  U_ b  e.  S  dom  b ) )
221220ssrdv 3354 . . 3  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  U. M  C_ 
U_ b  e.  S  dom  b )
22228, 221eqssd 3365 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  U_ b  e.  S  dom  b  = 
U. M )
2234, 222syl5eq 2480 1  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  dom  X  =  U. M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    i^i cin 3319    C_ wss 3320   U.cuni 4015   |^|cint 4050   U_ciun 4093   class class class wbr 4212   Ord word 4580   Oncon0 4581   suc csuc 4583   dom cdm 4878    |` cres 4880   Rel wrel 4883   Fun wfun 5448   Nocsur 25595   < scslt 25596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-2o 6725  df-no 25598  df-slt 25599  df-bday 25600
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