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Theorem noinfep 7293
Description: Using the Axiom of Regularity in the form zfregfr 7249, show that there are no infinite descending 
e.-chains. Proposition 7.34 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
noinfep  |-  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem noinfep
StepHypRef Expression
1 omex 7277 . . . . 5  |-  om  e.  _V
21mptex 5645 . . . 4  |-  ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  e.  _V
32rnex 4895 . . 3  |-  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  e.  _V
4 zfregfr 7249 . . 3  |-  _E  Fr  ran  (  w  e.  om 
|->  ( F `  w
) )
5 ssid 3139 . . 3  |-  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) 
C_  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )
6 dmmptg 5122 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V  ->  dom  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  om )
7 fvex 5437 . . . . . . 7  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
87a1i 12 . . . . . 6  |-  ( w  e.  om  ->  ( F `  w )  e.  _V )
96, 8mprg 2583 . . . . 5  |-  dom  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  om
10 peano1 4612 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
11 ne0i 3403 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 10 . . . . 5  |-  om  =/=  (/)
139, 12eqnetri 2436 . . . 4  |-  dom  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =/=  (/)
14 dm0rn0 4848 . . . . 5  |-  ( dom  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  =  (/)  <->  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  (/) )
1514necon3bii 2451 . . . 4  |-  ( dom  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  =/=  (/)  <->  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =/=  (/) )
1613, 15mpbi 201 . . 3  |-  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =/=  (/)
17 fri 4292 . . 3  |-  ( ( ( ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  e.  _V  /\  _E  Fr  ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) )  /\  ( ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) 
C_  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  /\  ran  (  w  e.  om 
|->  ( F `  w
) )  =/=  (/) ) )  ->  E. y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) A. z  e. 
ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y )
183, 4, 5, 16, 17mp4an 657 . 2  |-  E. y  e.  ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y
19 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )
207, 19fnmpti 5275 . . . . . 6  |-  ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  Fn  om
21 fvelrnb 5469 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  Fn  om  ->  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  <->  E. x  e.  om  ( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y ) )
2220, 21ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  <->  E. x  e.  om  ( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y )
23 peano2 4613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
24 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  suc  x  -> 
( F `  w
)  =  ( F `
 suc  x )
)
25 fvex 5437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 suc  x )  e.  _V
2624, 19, 25fvmpt 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  x  e.  om  ->  ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x
)  =  ( F `
 suc  x )
)
2723, 26syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x
)  =  ( F `
 suc  x )
)
28 fnfvelrn 5561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  Fn  om  /\  suc  x  e.  om )  ->  ( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x )  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) )
2920, 23, 28sylancr 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x
)  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) )
3027, 29eqeltrrd 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  ( F `  suc  x )  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) )
31 epel 4245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  _E  y  <->  z  e.  y )
32 eleq1 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  (
z  e.  y  <->  ( F `  suc  x )  e.  y ) )
3331, 32syl5bb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  (
z  _E  y  <->  ( F `  suc  x )  e.  y ) )
3433notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  ( -.  z  _E  y  <->  -.  ( F `  suc  x )  e.  y ) )
35 df-nel 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  suc  x
)  e/  y  <->  -.  ( F `  suc  x )  e.  y )
3634, 35syl6bbr 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  ( -.  z  _E  y  <->  ( F `  suc  x
)  e/  y )
)
3736rcla4cv 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( ( F `  suc  x )  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  ->  ( F `  suc  x )  e/  y ) )
3830, 37syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  y ) )
39 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
40 fvex 5437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4139, 19, 40fvmpt 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  om  ->  (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
42 eqeq1 2262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  (
( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  ( F `  x )  <-> 
y  =  ( F `
 x ) ) )
4341, 42syl5ibcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  y  =  ( F `  x ) ) )
44 neleq2 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  suc  x )  e/  y  <->  ( F `  suc  x
)  e/  ( F `  x ) ) )
4544biimpd 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  suc  x )  e/  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
) )
4643, 45syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  ( ( F `
 suc  x )  e/  y  ->  ( F `
 suc  x )  e/  ( F `  x
) ) ) )
4746com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  (
( F `  suc  x )  e/  y  ->  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) `
 x )  =  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x ) ) ) )
4838, 47syld 42 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x ) ) ) )
4948com12 29 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( x  e.  om  ->  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) `
 x )  =  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x ) ) ) )
5049reximdvai 2624 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( E. x  e. 
om  ( ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) `
 x )  =  y  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
) )
5122, 50syl5bi 210 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
) )
5251com12 29 . . 3  |-  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  ->  ( A. z  e.  ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e/  ( F `  x ) ) )
5352rexlimiv 2632 . 2  |-  ( E. y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
)
5418, 53ax-mp 10 1  |-  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    e/ wnel 2420   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   (/)c0 3397   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    _E cep 4240    Fr wfr 4286   suc csuc 4331   omcom 4593   dom cdm 4626   ran crn 4627    Fn wfn 4633   ` cfv 4638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-reg 7239  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654
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