MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noinfep Unicode version

Theorem noinfep 7314
Description: Using the Axiom of Regularity in the form zfregfr 7270, show that there are no infinite descending 
e.-chains. Proposition 7.34 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
noinfep  |-  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem noinfep
StepHypRef Expression
1 omex 7298 . . . . 5  |-  om  e.  _V
21mptex 5666 . . . 4  |-  ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  e.  _V
32rnex 4916 . . 3  |-  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  e.  _V
4 zfregfr 7270 . . 3  |-  _E  Fr  ran  (  w  e.  om 
|->  ( F `  w
) )
5 ssid 3158 . . 3  |-  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) 
C_  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )
6 dmmptg 5143 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V  ->  dom  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  om )
7 fvex 5458 . . . . . . 7  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
87a1i 12 . . . . . 6  |-  ( w  e.  om  ->  ( F `  w )  e.  _V )
96, 8mprg 2585 . . . . 5  |-  dom  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  om
10 peano1 4633 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
11 ne0i 3422 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 10 . . . . 5  |-  om  =/=  (/)
139, 12eqnetri 2436 . . . 4  |-  dom  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =/=  (/)
14 dm0rn0 4869 . . . . 5  |-  ( dom  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  =  (/)  <->  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  (/) )
1514necon3bii 2451 . . . 4  |-  ( dom  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  =/=  (/)  <->  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =/=  (/) )
1613, 15mpbi 201 . . 3  |-  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =/=  (/)
17 fri 4313 . . 3  |-  ( ( ( ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  e.  _V  /\  _E  Fr  ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) )  /\  ( ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) 
C_  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  /\  ran  (  w  e.  om 
|->  ( F `  w
) )  =/=  (/) ) )  ->  E. y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) A. z  e. 
ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y )
183, 4, 5, 16, 17mp4an 657 . 2  |-  E. y  e.  ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y
19 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  =  ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )
207, 19fnmpti 5296 . . . . . 6  |-  ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  Fn  om
21 fvelrnb 5490 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  Fn  om  ->  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  <->  E. x  e.  om  ( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y ) )
2220, 21ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  <->  E. x  e.  om  ( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y )
23 peano2 4634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
24 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  suc  x  -> 
( F `  w
)  =  ( F `
 suc  x )
)
25 fvex 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 suc  x )  e.  _V
2624, 19, 25fvmpt 5522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  x  e.  om  ->  ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x
)  =  ( F `
 suc  x )
)
2723, 26syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x
)  =  ( F `
 suc  x )
)
28 fnfvelrn 5582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  Fn  om  /\  suc  x  e.  om )  ->  ( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x )  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) )
2920, 23, 28sylancr 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  suc  x
)  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) )
3027, 29eqeltrrd 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  ( F `  suc  x )  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) )
31 epel 4266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  _E  y  <->  z  e.  y )
32 eleq1 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  (
z  e.  y  <->  ( F `  suc  x )  e.  y ) )
3331, 32syl5bb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  (
z  _E  y  <->  ( F `  suc  x )  e.  y ) )
3433notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  ( -.  z  _E  y  <->  -.  ( F `  suc  x )  e.  y ) )
35 df-nel 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  suc  x
)  e/  y  <->  -.  ( F `  suc  x )  e.  y )
3634, 35syl6bbr 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  suc  x )  ->  ( -.  z  _E  y  <->  ( F `  suc  x
)  e/  y )
)
3736rcla4cv 2849 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( ( F `  suc  x )  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  ->  ( F `  suc  x )  e/  y ) )
3830, 37syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  y ) )
39 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
40 fvex 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4139, 19, 40fvmpt 5522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  om  ->  (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
42 eqeq1 2262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  (
( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  ( F `  x )  <-> 
y  =  ( F `
 x ) ) )
4341, 42syl5ibcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  y  =  ( F `  x ) ) )
44 neleq2 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  suc  x )  e/  y  <->  ( F `  suc  x
)  e/  ( F `  x ) ) )
4544biimpd 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  suc  x )  e/  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
) )
4643, 45syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  ( ( F `
 suc  x )  e/  y  ->  ( F `
 suc  x )  e/  ( F `  x
) ) ) )
4746com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  (
( F `  suc  x )  e/  y  ->  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) `
 x )  =  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x ) ) ) )
4838, 47syld 42 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( (
( w  e.  om  |->  ( F `  w ) ) `  x )  =  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x ) ) ) )
4948com12 29 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( x  e.  om  ->  ( ( ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) `
 x )  =  y  ->  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x ) ) ) )
5049reximdvai 2626 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( E. x  e. 
om  ( ( w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) `
 x )  =  y  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
) )
5122, 50syl5bi 210 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  -.  z  _E  y  ->  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
) )
5251com12 29 . . 3  |-  ( y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) )  ->  ( A. z  e.  ran  (  w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e/  ( F `  x ) ) )
5352rexlimiv 2634 . 2  |-  ( E. y  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `
 w ) ) A. z  e.  ran  (  w  e.  om  |->  ( F `  w ) )  -.  z  _E  y  ->  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
)
5418, 53ax-mp 10 1  |-  E. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e/  ( F `  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    e/ wnel 2420   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   (/)c0 3416   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037    _E cep 4261    Fr wfr 4307   suc csuc 4352   omcom 4614   dom cdm 4647   ran crn 4648    Fn wfn 4654   ` cfv 4659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-reg 7260  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675
  Copyright terms: Public domain W3C validator