Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nolimf Unicode version

Theorem nolimf 24986
Description: A numerical function has at most one limit value. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nolimf.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
nolimf  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  ->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, L    x, Y

Proof of Theorem nolimf
StepHypRef Expression
1 nolimf.j . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 rehaus 18267 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Haus
31, 2eqeltri 2328 . 2  |-  J  e. 
Haus
4 uniretop 18233 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
51unieqi 3811 . . . 4  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
64, 5eqtr4i 2281 . . 3  |-  RR  =  U. J
76hausflf 17654 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> RR )  ->  E* x  x  e.  (
( J  fLimf  L ) `
 F ) )
83, 7mp3an1 1269 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> RR )  ->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   E*wmo 2119   U.cuni 3801   ran crn 4662   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RRcr 8704   (,)cioo 10622   topGenctg 13304   Hauscha 16998   Filcfil 17502    fLimf cflf 17592
This theorem is referenced by:  nolimf2  24987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-icc 10629  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-topgen 13306  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-nei 16797  df-haus 17005  df-fbas 17482  df-fil 17503  df-flim 17596  df-flf 17597
  Copyright terms: Public domain W3C validator