HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Structured version   Unicode version

Theorem nonbooli 23191
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where 
( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H but  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  0H. The antecedent specifies that the vectors  A and  B are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to  F,  G, and  H. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1  |-  A  e. 
~H
nonbool.2  |-  B  e. 
~H
nonbool.3  |-  F  =  ( span `  { A } )
nonbool.4  |-  G  =  ( span `  { B } )
nonbool.5  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
Assertion
Ref Expression
nonbooli  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
~H
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
~H
31, 2hvaddcli 22559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  +h  B )  e. 
~H
4 spansnid 23103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
75, 6eleqtrri 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  H
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( span `  { A } )
91spansnchi 23102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { A } )  e.  CH
109chshii 22768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { A } )  e.  SH
118, 10eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( span `  { B } )
132spansnchi 23102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { B } )  e.  CH
1413chshii 22768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
1512, 14eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  e.  SH
1611, 15shsleji 22910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  +H  G )  C_  ( F  vH  G )
17 spansnid 23103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  A  e.  ( span `  { A } ) )
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e.  ( span `  { A } )
1918, 8eleqtrri 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  F
20 spansnid 23103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ~H  ->  B  e.  ( span `  { B } ) )
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  ( span `  { B } )
2221, 12eleqtrri 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  G
2311, 15shsvai 22904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  ->  ( A  +h  B
)  e.  ( F  +H  G ) )
2419, 22, 23mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  +H  G
)
2516, 24sselii 3334 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
)
26 elin 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( ( A  +h  B )  e.  H  /\  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
) ) )
277, 25, 26mpbir2an 888 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )
28 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  (
( A  +h  B
)  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( A  +h  B )  e.  0H ) )
2927, 28mpbii 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  0H )
30 elch0 22794 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  0H  <->  ( A  +h  B )  =  0h )
3129, 30sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  =  0h )
32 ch0 22769 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { A } )  e.  CH  ->  0h  e.  ( span `  { A } ) )
339, 32ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ( span `  { A } )
3431, 33syl6eqel 2531 . . . . . 6  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } ) )
358eleq2i 2507 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
36 sumspansn 23189 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )
371, 2, 36mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
3835, 37bitr4i 245 . . . . . 6  |-  ( B  e.  F  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } ) )
3934, 38sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  B  e.  F )
4039con3i 130 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  F  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
4140adantl 454 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
426, 8ineq12i 3529 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  F )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )
433, 1spansnm0i 23190 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4438, 43sylnbi 299 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4542, 44syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( H  i^i  F
)  =  0H )
466, 12ineq12i 3529 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  G )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )
47 sumspansn 23189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) ) )
482, 1, 47mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +h  A )  e.  ( span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
491, 2hvcomi 22560 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  =  ( B  +h  A
)
5049eleq1i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { B } )  <->  ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } ) )
5112eleq2i 2507 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  G  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
5248, 50, 513bitr4ri 271 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  G  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { B } ) )
533, 2spansnm0i 23190 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { B } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5452, 53sylnbi 299 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5546, 54syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( H  i^i  G
)  =  0H )
5645, 55oveqan12rd 6137 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  ( 0H 
vH  0H ) )
57 h0elch 22795 . . . . 5  |-  0H  e.  CH
5857chj0i 22995 . . . 4  |-  ( 0H 
vH  0H )  =  0H
5956, 58syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )
60 eqeq2 2452 . . . . 5  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <-> 
( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H ) )
6160notbid 287 . . . 4  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  0H ) )
6261biimparc 475 . . 3  |-  ( ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  /\  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6341, 59, 62syl2anc 644 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
64 ioran 478 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  <->  ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F ) )
65 df-ne 2608 . 2  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6663, 64, 653imtr4i 259 1  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606    i^i cin 3308   {csn 3843   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   ~Hchil 22460    +h cva 22461   0hc0v 22465   SHcsh 22469   CHcch 22470    +H cph 22472   spancspn 22473    vH chj 22474   0Hc0h 22476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cc 8353  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108  ax-hilex 22540  ax-hfvadd 22541  ax-hvcom 22542  ax-hvass 22543  ax-hv0cl 22544  ax-hvaddid 22545  ax-hfvmul 22546  ax-hvmulid 22547  ax-hvmulass 22548  ax-hvdistr1 22549  ax-hvdistr2 22550  ax-hvmul0 22551  ax-hfi 22619  ax-his1 22622  ax-his2 22623  ax-his3 22624  ax-his4 22625  ax-hcompl 22742
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-omul 6765  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-ixp 7100  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-acn 7867  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-ioo 10958  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-rlim 12321  df-sum 12518  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-hom 13591  df-cco 13592  df-rest 13688  df-topn 13689  df-topgen 13705  df-pt 13706  df-prds 13709  df-xrs 13764  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-qtop 13771  df-imas 13772  df-xps 13774  df-mre 13849  df-mrc 13850  df-acs 13852  df-mnd 14728  df-submnd 14777  df-mulg 14853  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-fbas 16737  df-fg 16738  df-cnfld 16742  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-cld 17121  df-ntr 17122  df-cls 17123  df-nei 17200  df-cn 17329  df-cnp 17330  df-lm 17331  df-haus 17417  df-tx 17632  df-hmeo 17825  df-fil 17916  df-fm 18008  df-flim 18009  df-flf 18010  df-xms 18388  df-ms 18389  df-tms 18390  df-cfil 19246  df-cau 19247  df-cmet 19248  df-grpo 21817  df-gid 21818  df-ginv 21819  df-gdiv 21820  df-ablo 21908  df-subgo 21928  df-vc 22063  df-nv 22109  df-va 22112  df-ba 22113  df-sm 22114  df-0v 22115  df-vs 22116  df-nmcv 22117  df-ims 22118  df-dip 22235  df-ssp 22259  df-ph 22352  df-cbn 22403  df-hnorm 22509  df-hba 22510  df-hvsub 22512  df-hlim 22513  df-hcau 22514  df-sh 22747  df-ch 22762  df-oc 22792  df-ch0 22793  df-shs 22848  df-span 22849  df-chj 22850
  Copyright terms: Public domain W3C validator