HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Unicode version

Theorem nonbooli 23001
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where 
( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H but  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  0H. The antecedent specifies that the vectors  A and  B are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to  F,  G, and  H. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1  |-  A  e. 
~H
nonbool.2  |-  B  e. 
~H
nonbool.3  |-  F  =  ( span `  { A } )
nonbool.4  |-  G  =  ( span `  { B } )
nonbool.5  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
Assertion
Ref Expression
nonbooli  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
~H
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
~H
31, 2hvaddcli 22369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  +h  B )  e. 
~H
4 spansnid 22913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
75, 6eleqtrri 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  H
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( span `  { A } )
91spansnchi 22912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { A } )  e.  CH
109chshii 22578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { A } )  e.  SH
118, 10eqeltri 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( span `  { B } )
132spansnchi 22912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { B } )  e.  CH
1413chshii 22578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
1512, 14eqeltri 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  e.  SH
1611, 15shsleji 22720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  +H  G )  C_  ( F  vH  G )
17 spansnid 22913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  A  e.  ( span `  { A } ) )
181, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e.  ( span `  { A } )
1918, 8eleqtrri 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  F
20 spansnid 22913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ~H  ->  B  e.  ( span `  { B } ) )
212, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  ( span `  { B } )
2221, 12eleqtrri 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  G
2311, 15shsvai 22714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  ->  ( A  +h  B
)  e.  ( F  +H  G ) )
2419, 22, 23mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  +H  G
)
2516, 24sselii 3288 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
)
26 elin 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( ( A  +h  B )  e.  H  /\  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
) ) )
277, 25, 26mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )
28 eleq2 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  (
( A  +h  B
)  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( A  +h  B )  e.  0H ) )
2927, 28mpbii 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  0H )
30 elch0 22604 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  0H  <->  ( A  +h  B )  =  0h )
3129, 30sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  =  0h )
32 ch0 22579 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { A } )  e.  CH  ->  0h  e.  ( span `  { A } ) )
339, 32ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ( span `  { A } )
3431, 33syl6eqel 2475 . . . . . 6  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } ) )
358eleq2i 2451 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
36 sumspansn 22999 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )
371, 2, 36mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
3835, 37bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( B  e.  F  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } ) )
3934, 38sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  B  e.  F )
4039con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  F  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
4140adantl 453 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
426, 8ineq12i 3483 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  F )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )
433, 1spansnm0i 23000 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4438, 43sylnbi 298 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4542, 44syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( H  i^i  F
)  =  0H )
466, 12ineq12i 3483 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  G )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )
47 sumspansn 22999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) ) )
482, 1, 47mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +h  A )  e.  ( span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
491, 2hvcomi 22370 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  =  ( B  +h  A
)
5049eleq1i 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { B } )  <->  ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } ) )
5112eleq2i 2451 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  G  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
5248, 50, 513bitr4ri 270 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  G  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { B } ) )
533, 2spansnm0i 23000 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { B } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5452, 53sylnbi 298 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5546, 54syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( H  i^i  G
)  =  0H )
5645, 55oveqan12rd 6040 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  ( 0H 
vH  0H ) )
57 h0elch 22605 . . . . 5  |-  0H  e.  CH
5857chj0i 22805 . . . 4  |-  ( 0H 
vH  0H )  =  0H
5956, 58syl6eq 2435 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )
60 eqeq2 2396 . . . . 5  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <-> 
( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H ) )
6160notbid 286 . . . 4  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  0H ) )
6261biimparc 474 . . 3  |-  ( ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  /\  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6341, 59, 62syl2anc 643 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
64 ioran 477 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  <->  ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F ) )
65 df-ne 2552 . 2  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6663, 64, 653imtr4i 258 1  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    i^i cin 3262   {csn 3757   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ~Hchil 22270    +h cva 22271   0hc0v 22275   SHcsh 22279   CHcch 22280    +H cph 22282   spancspn 22283    vH chj 22284   0Hc0h 22286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435  ax-hcompl 22552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-lm 17215  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cfil 19079  df-cau 19080  df-cmet 19081  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-subgo 21738  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-dip 22045  df-ssp 22069  df-ph 22162  df-cbn 22213  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-hlim 22323  df-hcau 22324  df-sh 22557  df-ch 22572  df-oc 22602  df-ch0 22603  df-shs 22658  df-span 22659  df-chj 22660
  Copyright terms: Public domain W3C validator