HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Unicode version

Theorem nonbooli 22224
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where 
( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H but  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  0H. The antecedent specifies that the vectors  A and  B are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to  F,  G, and  H. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1  |-  A  e. 
~H
nonbool.2  |-  B  e. 
~H
nonbool.3  |-  F  =  ( span `  { A } )
nonbool.4  |-  G  =  ( span `  { B } )
nonbool.5  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
Assertion
Ref Expression
nonbooli  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
~H
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
~H
31, 2hvaddcli 21592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  +h  B )  e. 
~H
4 spansnid 22136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } ) )
53, 4ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
75, 6eleqtrri 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  H
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( span `  { A } )
91spansnchi 22135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { A } )  e.  CH
109chshii 21801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { A } )  e.  SH
118, 10eqeltri 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( span `  { B } )
132spansnchi 22135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { B } )  e.  CH
1413chshii 21801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
1512, 14eqeltri 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  e.  SH
1611, 15shsleji 21943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  +H  G )  C_  ( F  vH  G )
17 spansnid 22136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  A  e.  ( span `  { A } ) )
181, 17ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e.  ( span `  { A } )
1918, 8eleqtrri 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  F
20 spansnid 22136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ~H  ->  B  e.  ( span `  { B } ) )
212, 20ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  ( span `  { B } )
2221, 12eleqtrri 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  G
2311, 15shsvai 21937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  ->  ( A  +h  B
)  e.  ( F  +H  G ) )
2419, 22, 23mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  +H  G
)
2516, 24sselii 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
)
26 elin 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( ( A  +h  B )  e.  H  /\  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
) ) )
277, 25, 26mpbir2an 888 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )
28 eleq2 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  (
( A  +h  B
)  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( A  +h  B )  e.  0H ) )
2927, 28mpbii 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  0H )
30 elch0 21827 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  0H  <->  ( A  +h  B )  =  0h )
3129, 30sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  =  0h )
32 ch0 21802 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { A } )  e.  CH  ->  0h  e.  ( span `  { A } ) )
339, 32ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ( span `  { A } )
3431, 33syl6eqel 2374 . . . . . 6  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } ) )
358eleq2i 2350 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
36 sumspansn 22222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )
371, 2, 36mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
3835, 37bitr4i 245 . . . . . 6  |-  ( B  e.  F  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } ) )
3934, 38sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  B  e.  F )
4039con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  F  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
4140adantl 454 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
426, 8ineq12i 3371 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  F )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )
433, 1spansnm0i 22223 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4438, 43sylnbi 299 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4542, 44syl5eq 2330 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( H  i^i  F
)  =  0H )
466, 12ineq12i 3371 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  G )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )
47 sumspansn 22222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) ) )
482, 1, 47mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +h  A )  e.  ( span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
491, 2hvcomi 21593 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  =  ( B  +h  A
)
5049eleq1i 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { B } )  <->  ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } ) )
5112eleq2i 2350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  G  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
5248, 50, 513bitr4ri 271 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  G  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { B } ) )
533, 2spansnm0i 22223 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { B } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5452, 53sylnbi 299 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5546, 54syl5eq 2330 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( H  i^i  G
)  =  0H )
5645, 55oveqan12rd 5841 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  ( 0H 
vH  0H ) )
57 h0elch 21828 . . . . 5  |-  0H  e.  CH
5857chj0i 22028 . . . 4  |-  ( 0H 
vH  0H )  =  0H
5956, 58syl6eq 2334 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )
60 eqeq2 2295 . . . . 5  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <-> 
( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H ) )
6160notbid 287 . . . 4  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  0H ) )
6261biimparc 475 . . 3  |-  ( ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  /\  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6341, 59, 62syl2anc 644 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
64 ioran 478 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  <->  ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F ) )
65 df-ne 2451 . 2  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6663, 64, 653imtr4i 259 1  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449    i^i cin 3154   {csn 3643   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   ~Hchil 21493    +h cva 21494   0hc0v 21498   SHcsh 21502   CHcch 21503    +H cph 21505   spancspn 21506    vH chj 21507   0Hc0h 21509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cc 8058  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814  ax-hilex 21573  ax-hfvadd 21574  ax-hvcom 21575  ax-hvass 21576  ax-hv0cl 21577  ax-hvaddid 21578  ax-hfvmul 21579  ax-hvmulid 21580  ax-hvmulass 21581  ax-hvdistr1 21582  ax-hvdistr2 21583  ax-hvmul0 21584  ax-hfi 21652  ax-his1 21655  ax-his2 21656  ax-his3 21657  ax-his4 21658  ax-hcompl 21775
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-lm 16955  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cfil 18677  df-cau 18678  df-cmet 18679  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-subgo 20963  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-dip 21268  df-ssp 21292  df-ph 21385  df-cbn 21436  df-hnorm 21542  df-hba 21543  df-hvsub 21545  df-hlim 21546  df-hcau 21547  df-sh 21780  df-ch 21795  df-oc 21825  df-ch0 21826  df-shs 21881  df-span 21882  df-chj 21883
  Copyright terms: Public domain W3C validator