HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Unicode version

Theorem nonbooli 23141
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where 
( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H but  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  0H. The antecedent specifies that the vectors  A and  B are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to  F,  G, and  H. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1  |-  A  e. 
~H
nonbool.2  |-  B  e. 
~H
nonbool.3  |-  F  =  ( span `  { A } )
nonbool.4  |-  G  =  ( span `  { B } )
nonbool.5  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
Assertion
Ref Expression
nonbooli  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
~H
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
~H
31, 2hvaddcli 22509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  +h  B )  e. 
~H
4 spansnid 23053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( span `  {
( A  +h  B
) } )
75, 6eleqtrri 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  H
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( span `  { A } )
91spansnchi 23052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { A } )  e.  CH
109chshii 22718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { A } )  e.  SH
118, 10eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( span `  { B } )
132spansnchi 23052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( span `  { B } )  e.  CH
1413chshii 22718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
1512, 14eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  e.  SH
1611, 15shsleji 22860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  +H  G )  C_  ( F  vH  G )
17 spansnid 23053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  A  e.  ( span `  { A } ) )
181, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e.  ( span `  { A } )
1918, 8eleqtrri 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  F
20 spansnid 23053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ~H  ->  B  e.  ( span `  { B } ) )
212, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  ( span `  { B } )
2221, 12eleqtrri 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  G
2311, 15shsvai 22854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  ->  ( A  +h  B
)  e.  ( F  +H  G ) )
2419, 22, 23mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  +H  G
)
2516, 24sselii 3337 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
)
26 elin 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( ( A  +h  B )  e.  H  /\  ( A  +h  B )  e.  ( F  vH  G
) ) )
277, 25, 26mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )
28 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  (
( A  +h  B
)  e.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  <->  ( A  +h  B )  e.  0H ) )
2927, 28mpbii 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  0H )
30 elch0 22744 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  0H  <->  ( A  +h  B )  =  0h )
3129, 30sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  =  0h )
32 ch0 22719 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { A } )  e.  CH  ->  0h  e.  ( span `  { A } ) )
339, 32ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ( span `  { A } )
3431, 33syl6eqel 2523 . . . . . 6  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } ) )
358eleq2i 2499 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
36 sumspansn 23139 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )
371, 2, 36mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) )
3835, 37bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( B  e.  F  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } ) )
3934, 38sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  ->  B  e.  F )
4039con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  F  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
4140adantl 453 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H )
426, 8ineq12i 3532 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  F )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )
433, 1spansnm0i 23140 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4438, 43sylnbi 298 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { A } ) )  =  0H )
4542, 44syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  F  -> 
( H  i^i  F
)  =  0H )
466, 12ineq12i 3532 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  G )  =  ( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )
47 sumspansn 23139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) ) )
482, 1, 47mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +h  A )  e.  ( span `  { B } )  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
491, 2hvcomi 22510 . . . . . . . . 9  |-  ( A  +h  B )  =  ( B  +h  A
)
5049eleq1i 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ( span `  { B } )  <->  ( B  +h  A )  e.  (
span `  { B } ) )
5112eleq2i 2499 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  G  <->  A  e.  ( span `  { B } ) )
5248, 50, 513bitr4ri 270 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  G  <->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { B } ) )
533, 2spansnm0i 23140 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { B } )  ->  ( ( span `  { ( A  +h  B ) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5452, 53sylnbi 298 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( ( span `  {
( A  +h  B
) } )  i^i  ( span `  { B } ) )  =  0H )
5546, 54syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  G  -> 
( H  i^i  G
)  =  0H )
5645, 55oveqan12rd 6092 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  ( 0H 
vH  0H ) )
57 h0elch 22745 . . . . 5  |-  0H  e.  CH
5857chj0i 22945 . . . 4  |-  ( 0H 
vH  0H )  =  0H
5956, 58syl6eq 2483 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )
60 eqeq2 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <-> 
( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H ) )
6160notbid 286 . . . 4  |-  ( ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H  ->  ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  0H ) )
6261biimparc 474 . . 3  |-  ( ( -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  0H  /\  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  =  0H )  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6341, 59, 62syl2anc 643 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F
)  ->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) ) )
64 ioran 477 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  <->  ( -.  A  e.  G  /\  -.  B  e.  F ) )
65 df-ne 2600 . 2  |-  ( ( H  i^i  ( F  vH  G ) )  =/=  ( ( H  i^i  F )  vH  ( H  i^i  G ) )  <->  -.  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =  ( ( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
6663, 64, 653imtr4i 258 1  |-  ( -.  ( A  e.  G  \/  B  e.  F
)  ->  ( H  i^i  ( F  vH  G
) )  =/=  (
( H  i^i  F
)  vH  ( H  i^i  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    i^i cin 3311   {csn 3806   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   ~Hchil 22410    +h cva 22411   0hc0v 22415   SHcsh 22419   CHcch 22420    +H cph 22422   spancspn 22423    vH chj 22424   0Hc0h 22426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575  ax-hcompl 22692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-lm 17281  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-subgo 21878  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-ssp 22209  df-ph 22302  df-cbn 22353  df-hnorm 22459  df-hba 22460  df-hvsub 22462  df-hlim 22463  df-hcau 22464  df-sh 22697  df-ch 22712  df-oc 22742  df-ch0 22743  df-shs 22798  df-span 22799  df-chj 22800
  Copyright terms: Public domain W3C validator