HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii-i Unicode version

Theorem norm-iii-i 21643
Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-iii.1  |-  A  e.  CC
norm-iii.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
norm-iii-i  |-  ( normh `  ( A  .h  B
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  B ) )

Proof of Theorem norm-iii-i
StepHypRef Expression
1 norm-iii.1 . . . . 5  |-  A  e.  CC
2 norm-iii.2 . . . . 5  |-  B  e. 
~H
31, 1, 2, 2his35i 21593 . . . 4  |-  ( ( A  .h  B ) 
.ih  ( A  .h  B ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  ( B  .ih  B ) )
43fveq2i 5426 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( A  .h  B )  .ih  ( A  .h  B )
) )  =  ( sqr `  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( B  .ih  B ) ) )
51cjmulrcli 11592 . . . 4  |-  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR
6 hiidrcl 21599 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( B  .ih  B )  e.  RR )
72, 6ax-mp 10 . . . 4  |-  ( B 
.ih  B )  e.  RR
81cjmulge0i 11594 . . . 4  |-  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
)
9 hiidge0 21602 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  0  <_  ( B  .ih  B
) )
102, 9ax-mp 10 . . . 4  |-  0  <_  ( B  .ih  B
)
115, 7, 8, 10sqrmulii 11800 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  ( B  .ih  B ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
124, 11eqtri 2276 . 2  |-  ( sqr `  ( ( A  .h  B )  .ih  ( A  .h  B )
) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
131, 2hvmulcli 21519 . . 3  |-  ( A  .h  B )  e. 
~H
14 normval 21628 . . 3  |-  ( ( A  .h  B )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( A  .h  B ) )  =  ( sqr `  (
( A  .h  B
)  .ih  ( A  .h  B ) ) ) )
1513, 14ax-mp 10 . 2  |-  ( normh `  ( A  .h  B
) )  =  ( sqr `  ( ( A  .h  B ) 
.ih  ( A  .h  B ) ) )
16 absval 11653 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
171, 16ax-mp 10 . . 3  |-  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
18 normval 21628 . . . 4  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( normh `  B )  =  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
192, 18ax-mp 10 . . 3  |-  ( normh `  B )  =  ( sqr `  ( B 
.ih  B ) )
2017, 19oveq12i 5769 . 2  |-  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  B
) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
2112, 15, 203eqtr4i 2286 1  |-  ( normh `  ( A  .h  B
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670    x. cmul 8675    <_ cle 8801   *ccj 11511   sqrcsqr 11648   abscabs 11649   ~Hchil 21424    .h csm 21426    .ih csp 21427   normhcno 21428
This theorem is referenced by:  norm-iii  21644  normsubi  21645  normpar2i  21660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-hv0cl 21508  ax-hfvmul 21510  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his3 21588  ax-his4 21589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-hnorm 21473
  Copyright terms: Public domain W3C validator