HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii-i Unicode version

Theorem norm-iii-i 21712
Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-iii.1  |-  A  e.  CC
norm-iii.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
norm-iii-i  |-  ( normh `  ( A  .h  B
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  B ) )

Proof of Theorem norm-iii-i
StepHypRef Expression
1 norm-iii.1 . . . . 5  |-  A  e.  CC
2 norm-iii.2 . . . . 5  |-  B  e. 
~H
31, 1, 2, 2his35i 21662 . . . 4  |-  ( ( A  .h  B ) 
.ih  ( A  .h  B ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  ( B  .ih  B ) )
43fveq2i 5490 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( A  .h  B )  .ih  ( A  .h  B )
) )  =  ( sqr `  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  x.  ( B  .ih  B ) ) )
51cjmulrcli 11658 . . . 4  |-  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR
6 hiidrcl 21668 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( B  .ih  B )  e.  RR )
72, 6ax-mp 10 . . . 4  |-  ( B 
.ih  B )  e.  RR
81cjmulge0i 11660 . . . 4  |-  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
)
9 hiidge0 21671 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  0  <_  ( B  .ih  B
) )
102, 9ax-mp 10 . . . 4  |-  0  <_  ( B  .ih  B
)
115, 7, 8, 10sqrmulii 11866 . . 3  |-  ( sqr `  ( ( A  x.  ( * `  A
) )  x.  ( B  .ih  B ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
124, 11eqtri 2306 . 2  |-  ( sqr `  ( ( A  .h  B )  .ih  ( A  .h  B )
) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
131, 2hvmulcli 21588 . . 3  |-  ( A  .h  B )  e. 
~H
14 normval 21697 . . 3  |-  ( ( A  .h  B )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( A  .h  B ) )  =  ( sqr `  (
( A  .h  B
)  .ih  ( A  .h  B ) ) ) )
1513, 14ax-mp 10 . 2  |-  ( normh `  ( A  .h  B
) )  =  ( sqr `  ( ( A  .h  B ) 
.ih  ( A  .h  B ) ) )
16 absval 11719 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
171, 16ax-mp 10 . . 3  |-  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )
18 normval 21697 . . . 4  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( normh `  B )  =  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
192, 18ax-mp 10 . . 3  |-  ( normh `  B )  =  ( sqr `  ( B 
.ih  B ) )
2017, 19oveq12i 5833 . 2  |-  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  B
) )  =  ( ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  x.  ( sqr `  ( B  .ih  B ) ) )
2112, 15, 203eqtr4i 2316 1  |-  ( normh `  ( A  .h  B
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1625    e. wcel 1687   class class class wbr 4026   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   RRcr 8733   0cc0 8734    x. cmul 8739    <_ cle 8865   *ccj 11577   sqrcsqr 11714   abscabs 11715   ~Hchil 21493    .h csm 21495    .ih csp 21496   normhcno 21497
This theorem is referenced by:  norm-iii  21713  normsubi  21714  normpar2i  21729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-hv0cl 21577  ax-hfvmul 21579  ax-hvmul0 21584  ax-hfi 21652  ax-his1 21655  ax-his3 21657  ax-his4 21658
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-sup 7191  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-rp 10352  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-hnorm 21542
  Copyright terms: Public domain W3C validator