Theorem norm-iii 8927

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	|- A e. CC
norm-iii.2	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
norm-iii	|- (normh` (A .h B)) = ((abs` A) x. (normh` B))

Proof of Theorem norm-iii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . 5 |- A e. CC
2		norm-iii.2	. . . . 5 |- B e. H~
3	1, 1, 2, 2	his35 8876	. . . 4 |- ((A .h B) .ih (A .h B)) = ((A x. (*` A)) x. (B .ih B))
4	3	fveq2i 3712	. . 3 |- (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B))) = (sqr` ((A x. (*` A)) x. (B .ih B)))
5	1	cjmulrcl 6726	. . . 4 |- (A x. (*` A)) e. RR
6		hiidrclt 8882	. . . . 5 |- (B e. H~ -> (B .ih B) e. RR)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- (B .ih B) e. RR
8	1	cjmulge0 6728	. . . 4 |- 0 <_ (A x. (*` A))
9		hiidge0t 8885	. . . . 5 |- (B e. H~ -> 0 <_ (B .ih B))
10	2, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (B .ih B)
11	5, 7, 8, 10	sqrmuli 6634	. . 3 |- (sqr` ((A x. (*` A)) x. (B .ih B))) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B .ih B)))
12	4, 11	eqtr 1487	. 2 |- (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B))) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B .ih B)))
13	1, 2	hvmulcl 8805	. . 3 |- (A .h B) e. H~
14		normvalt 8911	. . 3 |- ((A .h B) e. H~ -> (normh` (A .h B)) = (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B))))
15	13, 14	ax-mp 7	. 2 |- (normh` (A .h B)) = (sqr` ((A .h B) .ih (A .h B)))
16		absvalt 6694	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
17	1, 16	ax-mp 7	. . 3 |- (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A)))
18		normvalt 8911	. . . 4 |- (B e. H~ -> (normh` B) = (sqr` (B .ih B)))
19	2, 18	ax-mp 7	. . 3 |- (normh` B) = (sqr` (B .ih B))
20	17, 19	opreq12i 3958	. 2 |- ((abs` A) x. (normh` B)) = ((sqr` (A x. (*` A))) x. (sqr` (B .ih B)))
21	12, 15, 20	3eqtr4 1497	1 |- (normh` (A .h B)) = ((abs` A) x. (normh` B))

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   x. cmul 5211   <_ cle 5267  sqrcsqr 6599  *ccj 6680  abscabs 6681  H~chil 8727   .h csm 8729   .ih csp 8732  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  norm-iiit 8928  normsub 8929  normpar2 8944  projlem18 9119

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-hnorm 8776

Copyright terms: Public domain