HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii Unicode version

Theorem norm-iii 21713
Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm-iii  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  .h  B ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  B ) ) )

Proof of Theorem norm-iii
StepHypRef Expression
1 oveq1 5828 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  .h  B
)  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  B ) )
21fveq2d 5491 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( normh `  ( A  .h  B ) )  =  ( normh `  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  B ) ) )
3 fveq2 5487 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) )
43oveq1d 5836 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  B ) )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  x.  ( normh `  B ) ) )
52, 4eqeq12d 2300 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( normh `  ( A  .h  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( normh `  B
) )  <->  ( normh `  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  B ) )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  x.  ( normh `  B ) ) ) )
6 oveq2 5829 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  B )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )
76fveq2d 5491 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( normh `  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  B ) )  =  ( normh `  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
8 fveq2 5487 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( normh `  B )  =  ( normh `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )
98oveq2d 5837 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  x.  ( normh `  B ) )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  x.  ( normh `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
107, 9eqeq12d 2300 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( normh `  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  B ) )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  x.  ( normh `  B )
)  <->  ( normh `  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  x.  ( normh `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
11 0cn 8828 . . . 4  |-  0  e.  CC
1211elimel 3620 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
13 ax-hv0cl 21577 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
1413elimel 3620 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
1512, 14norm-iii-i 21712 . 2  |-  ( normh `  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  x.  ( normh `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )
165, 10, 15dedth2h 3610 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  .h  B ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( normh `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687   ifcif 3568   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   0cc0 8734    x. cmul 8739   abscabs 11715   ~Hchil 21493    .h csm 21495   normhcno 21497   0hc0v 21498
This theorem is referenced by:  hhnv  21738  norm1  21822  hhssnv  21835  nmbdoplbi  22598  nmcexi  22600  nmcopexi  22601  nmcoplbi  22602  nmophmi  22605  nmopcoi  22669  strlem1  22824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-hv0cl 21577  ax-hfvmul 21579  ax-hvmul0 21584  ax-hfi 21652  ax-his1 21655  ax-his3 21657  ax-his4 21658
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-sup 7191  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-rp 10352  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-hnorm 21542
  Copyright terms: Public domain W3C validator