Theorem norm1ex 9043

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a non-zero vector.

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
norm1ex	|- (E.x e. H x =/= 0h <-> E.y e. H (normh` y) = 1)

Distinct variable groups:   x,H   y,H

Proof of Theorem norm1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 1582	. . 3 |- (x = z -> (x =/= 0h <-> z =/= 0h))
2	1	cbvrexv 1792	. 2 |- (E.x e. H x =/= 0h <-> E.z e. H z =/= 0h)
3		fveq2 3709	. . . . . . 7 |- (y = ((1 / (normh` z)) .h z) -> (normh` y) = (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)))
4	3	eqeq1d 1475	. . . . . 6 |- (y = ((1 / (normh` z)) .h z) -> ((normh` y) = 1 <-> (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1))
5	4	rcla4ev 1868	. . . . 5 |- ((((1 / (normh` z)) .h z) e. H /\ (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1) -> E.y e. H (normh` y) = 1)
6		norm1ex.1	. . . . . . 7 |- H e. SH
7		shmulcltOLD 9009	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> (((1 / (normh` z)) e. CC /\ z e. H) -> ((1 / (normh` z)) .h z) e. H))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (((1 / (normh` z)) e. CC /\ z e. H) -> ((1 / (normh` z)) .h z) e. H)
9		rerecclt 5759	. . . . . . . 8 |- (((normh` z) e. RR /\ (normh` z) =/= 0) -> (1 / (normh` z)) e. RR)
10	6	shel 9003	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H -> z e. H~)
11		normclt 8912	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> (normh` z) e. RR)
12	10, 11	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z e. H -> (normh` z) e. RR)
13	12	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (normh` z) e. RR)
14		normne0t 8918	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> ((normh` z) =/= 0 <-> z =/= 0h))
15	10, 14	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z e. H -> ((normh` z) =/= 0 <-> z =/= 0h))
16	15	biimpar 417	. . . . . . . 8 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (normh` z) =/= 0)
17	9, 13, 16	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (1 / (normh` z)) e. RR)
18	17	recnd 5287	. . . . . 6 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (1 / (normh` z)) e. CC)
19		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> z e. H)
20	8, 18, 19	sylanc 471	. . . . 5 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> ((1 / (normh` z)) .h z) e. H)
21		norm1t 9042	. . . . . 6 |- ((z e. H~ /\ z =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1)
22	21, 10	sylan 448	. . . . 5 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1)
23	5, 20, 22	sylanc 471	. . . 4 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> E.y e. H (normh` y) = 1)
24	23	r19.23aiva 1736	. . 3 |- (E.z e. H z =/= 0h -> E.y e. H (normh` y) = 1)
25	6	shel 9003	. . . . . . . 8 |- (y e. H -> y e. H~)
26		norm-it 8917	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> ((normh` y) = 0 <-> y = 0h))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. H -> ((normh` y) = 0 <-> y = 0h))
28	27	necon3bbid 1592	. . . . . 6 |- (y e. H -> (-. (normh` y) = 0 <-> y =/= 0h))
29		ax1ne0 5252	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
30		df-ne 1579	. . . . . . . 8 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
31	29, 30	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
32		eqeq1 1473	. . . . . . 7 |- ((normh` y) = 1 -> ((normh` y) = 0 <-> 1 = 0))
33	31, 32	mtbiri 715	. . . . . 6 |- ((normh` y) = 1 -> -. (normh` y) = 0)
34	28, 33	syl5bi 208	. . . . 5 |- (y e. H -> ((normh` y) = 1 -> y =/= 0h))
35	34	r19.22i 1724	. . . 4 |- (E.y e. H (normh` y) = 1 -> E.y e. H y =/= 0h)
36		neeq1 1582	. . . . 5 |- (y = z -> (y =/= 0h <-> z =/= 0h))
37	36	cbvrexv 1792	. . . 4 |- (E.y e. H y =/= 0h <-> E.z e. H z =/= 0h)
38	35, 37	sylib 198	. . 3 |- (E.y e. H (normh` y) = 1 -> E.z e. H z =/= 0h)
39	24, 38	impbi 157	. 2 |- (E.z e. H z =/= 0h <-> E.y e. H (normh` y) = 1)
40	2, 39	bitr 173	1 |- (E.x e. H x =/= 0h <-> E.y e. H (normh` y) = 1)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   / cdiv 5266  H~chil 8727   .h csm 8729  0hc0v 8730  normhcno 8733  SHcsh 8736

This theorem is referenced by:  norm1hext 9044  pjnmop 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-hnorm 8776  df-sh 8997

Copyright terms: Public domain