Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3difi Unicode version

Theorem norm3difi 22637
 Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm3dif.1
norm3dif.2
norm3dif.3
Assertion
Ref Expression
norm3difi

Proof of Theorem norm3difi
StepHypRef Expression
1 norm3dif.1 . . . . 5
2 norm3dif.2 . . . . 5
31, 2hvsubvali 22511 . . . 4
4 norm3dif.3 . . . . . . 7
51, 4hvsubvali 22511 . . . . . 6
64, 2hvsubvali 22511 . . . . . 6
75, 6oveq12i 6084 . . . . 5
8 neg1cn 10056 . . . . . . 7
98, 4hvmulcli 22505 . . . . . 6
108, 2hvmulcli 22505 . . . . . . 7
114, 10hvaddcli 22509 . . . . . 6
121, 9, 11hvassi 22543 . . . . 5
139, 4, 10hvassi 22543 . . . . . . 7
149, 4hvcomi 22510 . . . . . . . . . 10
154, 4hvsubvali 22511 . . . . . . . . . 10
16 hvsubid 22516 . . . . . . . . . . 11
174, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
1814, 15, 173eqtr2i 2461 . . . . . . . . 9
1918oveq1i 6082 . . . . . . . 8
20 ax-hv0cl 22494 . . . . . . . . 9
2120, 10hvcomi 22510 . . . . . . . 8
22 ax-hvaddid 22495 . . . . . . . . 9
2310, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8
2419, 21, 233eqtri 2459 . . . . . . 7
2513, 24eqtr3i 2457 . . . . . 6
2625oveq2i 6083 . . . . 5
277, 12, 263eqtri 2459 . . . 4
283, 27eqtr4i 2458 . . 3
2928fveq2i 5722 . 2
301, 4hvsubcli 22512 . . 3
314, 2hvsubcli 22512 . . 3
3230, 31norm-ii-i 22627 . 2
3329, 32eqbrtri 4223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4204  cfv 5445  (class class class)co 6072  c1 8980   caddc 8982   cle 9110  cneg 9281  chil 22410   cva 22411   csm 22412  cno 22414  c0v 22415   cmv 22416 This theorem is referenced by:  norm3adifii  22638  norm3lem  22639  norm3dif  22640 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-hnorm 22459  df-hvsub 22462
 Copyright terms: Public domain W3C validator