Theorem norm3dift 9001

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101.

Assertion

Ref	Expression
norm3dift	|- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (normh` (A -h B)) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))))

Proof of Theorem norm3dift

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3965	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h B))
2	1	fveq2d 3725	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` (A -h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)))
3		opreq1 3965	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A -h C) = (if(A e. H~, A, 0h) -h C))
4	3	fveq2d 3725	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` (A -h C)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)))
5	4	opreq1d 3972	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h B))))
6	2, 5	breq12d 2628	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` (A -h B)) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))) <-> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) <_ ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h B)))))
7		opreq2 3966	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))
8	7	fveq2d 3725	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))))
9		opreq2 3966	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (C -h B) = (C -h if(B e. H~, B, 0h)))
10	9	fveq2d 3725	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` (C -h B)) = (normh` (C -h if(B e. H~, B, 0h))))
11	10	opreq2d 3973	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h B))) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h if(B e. H~, B, 0h)))))
12	8, 11	breq12d 2628	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) <_ ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h B))) <-> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))) <_ ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h if(B e. H~, B, 0h))))))
13		opreq2 3966	. . . . 5 |- (C = if(C e. H~, C, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) -h C) = (if(A e. H~, A, 0h) -h if(C e. H~, C, 0h)))
14	13	fveq2d 3725	. . . 4 |- (C = if(C e. H~, C, 0h) -> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(C e. H~, C, 0h))))
15		opreq1 3965	. . . . 5 |- (C = if(C e. H~, C, 0h) -> (C -h if(B e. H~, B, 0h)) = (if(C e. H~, C, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))
16	15	fveq2d 3725	. . . 4 |- (C = if(C e. H~, C, 0h) -> (normh` (C -h if(B e. H~, B, 0h))) = (normh` (if(C e. H~, C, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))))
17	14, 16	opreq12d 3975	. . 3 |- (C = if(C e. H~, C, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h if(B e. H~, B, 0h)))) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(C e. H~, C, 0h))) + (normh` (if(C e. H~, C, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))))
18	17	breq2d 2627	. 2 |- (C = if(C e. H~, C, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))) <_ ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h C)) + (normh` (C -h if(B e. H~, B, 0h)))) <-> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))) <_ ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(C e. H~, C, 0h))) + (normh` (if(C e. H~, C, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))))))
19		ax-hv0cl 8857	. . . 4 |- 0h e. H~
20	19	elimel 2392	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0h) e. H~
21	19	elimel 2392	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0h) e. H~
22	19	elimel 2392	. . 3 |- if(C e. H~, C, 0h) e. H~
23	20, 21, 22	norm3dif 8998	. 2 |- (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))) <_ ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(C e. H~, C, 0h))) + (normh` (if(C e. H~, C, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))))
24	6, 12, 18, 23	dedth3h 2386	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (normh` (A -h B)) <_ ((normh` (A -h C)) + (normh` (C -h B))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  ifcif 2359   class class class wbr 2616  ` cfv 3179  (class class class)co 3960   + caddc 5224   <_ cle 5282  H~chil 8772  0hc0v 8775   -h cmv 8776  normhcno 8778

This theorem is referenced by:  norm3dif2t 9002  hmopidmch 10070

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-seq1 6263  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824

Copyright terms: Public domain