Theorem normgt0tOLD 8948

Description: The norm of non-zero vector is positive.

Assertion

Ref	Expression
normgt0tOLD	|- (A e. H~ -> (-. A = 0h <-> 0 < (normh` A)))

Proof of Theorem normgt0tOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrgt0t 6656	. . . . 5 |- (((A .ih A) e. RR /\ 0 < (A .ih A)) -> 0 < (sqr` (A .ih A)))
2		hiidrclt 8916	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (A .ih A) e. RR)
3	2	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0h) -> (A .ih A) e. RR)
4		ax-his4 8907	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ A =/= 0h) -> 0 < (A .ih A))
5		df-ne 1585	. . . . . 6 |- (A =/= 0h <-> -. A = 0h)
6	4, 5	sylan2br 453	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0h) -> 0 < (A .ih A))
7	1, 3, 6	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0h) -> 0 < (sqr` (A .ih A)))
8	7	ex 373	. . 3 |- (A e. H~ -> (-. A = 0h -> 0 < (sqr` (A .ih A))))
9		opreq1 3963	. . . . . . . . 9 |- (A = 0h -> (A .ih A) = (0h .ih A))
10		hi01t 8917	. . . . . . . . 9 |- (A e. H~ -> (0h .ih A) = 0)
11	9, 10	sylan9eqr 1527	. . . . . . . 8 |- ((A e. H~ /\ A = 0h) -> (A .ih A) = 0)
12	11	fveq2d 3723	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ A = 0h) -> (sqr` (A .ih A)) = (sqr` 0))
13		sqr0 6617	. . . . . . 7 |- (sqr` 0) = 0
14	12, 13	syl6eq 1521	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ A = 0h) -> (sqr` (A .ih A)) = 0)
15	14	ex 373	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (A = 0h -> (sqr` (A .ih A)) = 0))
16		sqrclt 6655	. . . . . . . . 9 |- (((A .ih A) e. RR /\ 0 <_ (A .ih A)) -> (sqr` (A .ih A)) e. RR)
17		hiidge0t 8919	. . . . . . . . 9 |- (A e. H~ -> 0 <_ (A .ih A))
18	16, 2, 17	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (A e. H~ -> (sqr` (A .ih A)) e. RR)
19		0re 5423	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
20	18, 19	jctir 293	. . . . . . 7 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .ih A)) e. RR /\ 0 e. RR))
21		lttri3t 5497	. . . . . . 7 |- (((sqr` (A .ih A)) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((sqr` (A .ih A)) = 0 <-> (-. (sqr` (A .ih A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .ih A)))))
22	20, 21	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .ih A)) = 0 <-> (-. (sqr` (A .ih A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .ih A)))))
23		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((-. (sqr` (A .ih A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .ih A))) -> -. 0 < (sqr` (A .ih A)))
24	22, 23	syl6bi 214	. . . . 5 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .ih A)) = 0 -> -. 0 < (sqr` (A .ih A))))
25	15, 24	syld 27	. . . 4 |- (A e. H~ -> (A = 0h -> -. 0 < (sqr` (A .ih A))))
26	25	con2d 91	. . 3 |- (A e. H~ -> (0 < (sqr` (A .ih A)) -> -. A = 0h))
27	8, 26	impbid 515	. 2 |- (A e. H~ -> (-. A = 0h <-> 0 < (sqr` (A .ih A))))
28		normvalt 8945	. . 3 |- (A e. H~ -> (normh` A) = (sqr` (A .ih A)))
29	28	breq2d 2626	. 2 |- (A e. H~ -> (0 < (normh` A) <-> 0 < (sqr` (A .ih A))))
30	27, 29	bitr4d 530	1 |- (A e. H~ -> (-. A = 0h <-> 0 < (normh` A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  RRcr 5216  0cc0 5217   <_ cle 5278   < clt 5469  sqrcsqr 6614  H~chil 8743  0hc0v 8746   .ih csp 8748  normhcno 8749

This theorem is referenced by:  nmcoplb 9914  lnopcon 9919  nmcfnlb 9943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hv0cl 8828  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his3 8906  ax-his4 8907

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-hnorm 8792

Copyright terms: Public domain