Theorem normlem2 8932

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem2.4	|- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))

Assertion

Ref	Expression
normlem2	|- B e. RR

Proof of Theorem normlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem2.4	. 2 |- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
2		normlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- S e. CC
3	2	cjcj 6728	. . . . . . . . 9 |- (*` (*` S)) = S
4	3	eqcomi 1477	. . . . . . . 8 |- S = (*` (*` S))
5		normlem1.3	. . . . . . . . 9 |- G e. H~
6		normlem1.2	. . . . . . . . 9 |- F e. H~
7	5, 6	his1 8921	. . . . . . . 8 |- (G .ih F) = (*` (F .ih G))
8	4, 7	opreq12i 3968	. . . . . . 7 |- (S x. (G .ih F)) = ((*` (*` S)) x. (*` (F .ih G)))
9	2	cjcl 6714	. . . . . . . 8 |- (*` S) e. CC
10	6, 5	hicl 8903	. . . . . . . 8 |- (F .ih G) e. CC
11	9, 10	cjmul 6739	. . . . . . 7 |- (*` ((*` S) x. (F .ih G))) = ((*` (*` S)) x. (*` (F .ih G)))
12	8, 11	eqtr4 1496	. . . . . 6 |- (S x. (G .ih F)) = (*` ((*` S) x. (F .ih G)))
13	6, 5	his1 8921	. . . . . . . 8 |- (F .ih G) = (*` (G .ih F))
14	13	opreq2i 3967	. . . . . . 7 |- ((*` S) x. (F .ih G)) = ((*` S) x. (*` (G .ih F)))
15	5, 6	hicl 8903	. . . . . . . 8 |- (G .ih F) e. CC
16	2, 15	cjmul 6739	. . . . . . 7 |- (*` (S x. (G .ih F))) = ((*` S) x. (*` (G .ih F)))
17	14, 16	eqtr4 1496	. . . . . 6 |- ((*` S) x. (F .ih G)) = (*` (S x. (G .ih F)))
18	12, 17	opreq12i 3968	. . . . 5 |- ((S x. (G .ih F)) + ((*` S) x. (F .ih G))) = ((*` ((*` S) x. (F .ih G))) + (*` (S x. (G .ih F))))
19	9, 10	mulcl 5304	. . . . . 6 |- ((*` S) x. (F .ih G)) e. CC
20	2, 15	mulcl 5304	. . . . . 6 |- (S x. (G .ih F)) e. CC
21	19, 20	addcom 5305	. . . . 5 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) = ((S x. (G .ih F)) + ((*` S) x. (F .ih G)))
22	19, 20	cjadd 6738	. . . . 5 |- (*` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) = ((*` ((*` S) x. (F .ih G))) + (*` (S x. (G .ih F))))
23	18, 21, 22	3eqtr4r 1504	. . . 4 |- (*` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) = (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
24	19, 20	addcl 5303	. . . . 5 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. CC
25	24	cjreb 6731	. . . 4 |- ((((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR <-> (*` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) = (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))))
26	23, 25	mpbir 190	. . 3 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR
27	26	renegcl 5399	. 2 |- -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR
28	1, 27	eqeltr 1542	1 |- B e. RR

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216   + caddc 5220   x. cmul 5222  -ucneg 5276  *ccj 6695  H~chil 8743   .ih csp 8748

This theorem is referenced by:  normlem3 8933  normlem6 8936  normlem7 8937  norm-ii 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hfi 8901  ax-his1 8904

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699

Copyright terms: Public domain