Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem3 Unicode version

Theorem normlem3 22602
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1
normlem1.2
normlem1.3
normlem2.4
normlem3.5
normlem3.6
normlem3.7
Assertion
Ref Expression
normlem3

Proof of Theorem normlem3
StepHypRef Expression
1 normlem3.6 . . 3
2 normlem3.5 . . . . . . 7
3 normlem1.3 . . . . . . . 8
43, 3hicli 22571 . . . . . . 7
52, 4eqeltri 2505 . . . . . 6
6 normlem3.7 . . . . . . . 8
76recni 9091 . . . . . . 7
87sqcli 11450 . . . . . 6
95, 8mulcli 9084 . . . . 5
10 normlem1.1 . . . . . . . 8
11 normlem1.2 . . . . . . . 8
12 normlem2.4 . . . . . . . 8
1310, 11, 3, 12normlem2 22601 . . . . . . 7
1413recni 9091 . . . . . 6
1514, 7mulcli 9084 . . . . 5
169, 15addcomi 9246 . . . 4
1710cjcli 11962 . . . . . . . . . 10
1811, 3hicli 22571 . . . . . . . . . 10
1917, 18mulcli 9084 . . . . . . . . 9
203, 11hicli 22571 . . . . . . . . . 10
2110, 20mulcli 9084 . . . . . . . . 9
2219, 21addcli 9083 . . . . . . . 8
2322, 7mulneg1i 9468 . . . . . . 7
2412oveq1i 6082 . . . . . . 7
2522, 7mulneg2i 9469 . . . . . . 7
2623, 24, 253eqtr4i 2465 . . . . . 6
277negcli 9357 . . . . . . 7
2819, 21, 27adddiri 9090 . . . . . 6
2917, 18, 27mul32i 9251 . . . . . . 7
3010, 20, 27mul32i 9251 . . . . . . 7
3129, 30oveq12i 6084 . . . . . 6
3226, 28, 313eqtri 2459 . . . . 5
332oveq2i 6083 . . . . . 6
348, 5, 33mulcomli 9086 . . . . 5
3532, 34oveq12i 6084 . . . 4
3617, 27mulcli 9084 . . . . . 6
3736, 18mulcli 9084 . . . . 5
3810, 27mulcli 9084 . . . . . 6
3938, 20mulcli 9084 . . . . 5
408, 4mulcli 9084 . . . . 5
4137, 39, 40addassi 9087 . . . 4
4216, 35, 413eqtri 2459 . . 3
431, 42oveq12i 6084 . 2
449, 15addcli 9083 . . 3
4511, 11hicli 22571 . . . 4
461, 45eqeltri 2505 . . 3
4744, 46addcomi 9246 . 2
4839, 40addcli 9083 . . 3
4945, 37, 48addassi 9087 . 2
5043, 47, 493eqtr4i 2465 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5445  (class class class)co 6072  cc 8977  cr 8978   caddc 8982   cmul 8984  cneg 9281  c2 10038  cexp 11370  ccj 11889  chil 22410   csp 22413 This theorem is referenced by:  normlem4  22603 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-hfi 22569  ax-his1 22572 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894
 Copyright terms: Public domain W3C validator