HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem5 Unicode version

Theorem normlem5 21695
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1  |-  S  e.  CC
normlem1.2  |-  F  e. 
~H
normlem1.3  |-  G  e. 
~H
normlem2.4  |-  B  = 
-u ( ( ( * `  S )  x.  ( F  .ih  G ) )  +  ( S  x.  ( G 
.ih  F ) ) )
normlem3.5  |-  A  =  ( G  .ih  G
)
normlem3.6  |-  C  =  ( F  .ih  F
)
normlem4.7  |-  R  e.  RR
normlem4.8  |-  ( abs `  S )  =  1
Assertion
Ref Expression
normlem5  |-  0  <_  ( ( ( A  x.  ( R ^
2 ) )  +  ( B  x.  R
) )  +  C
)

Proof of Theorem normlem5
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . 4  |-  F  e. 
~H
2 normlem1.1 . . . . . 6  |-  S  e.  CC
3 normlem4.7 . . . . . . 7  |-  R  e.  RR
43recni 8851 . . . . . 6  |-  R  e.  CC
52, 4mulcli 8844 . . . . 5  |-  ( S  x.  R )  e.  CC
6 normlem1.3 . . . . 5  |-  G  e. 
~H
75, 6hvmulcli 21596 . . . 4  |-  ( ( S  x.  R )  .h  G )  e. 
~H
81, 7hvsubcli 21603 . . 3  |-  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) )  e. 
~H
9 hiidge0 21679 . . 3  |-  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G
) )  .ih  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) ) ) )
108, 9ax-mp 8 . 2  |-  0  <_  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G
) )  .ih  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) ) )
11 normlem2.4 . . 3  |-  B  = 
-u ( ( ( * `  S )  x.  ( F  .ih  G ) )  +  ( S  x.  ( G 
.ih  F ) ) )
12 normlem3.5 . . 3  |-  A  =  ( G  .ih  G
)
13 normlem3.6 . . 3  |-  C  =  ( F  .ih  F
)
14 normlem4.8 . . 3  |-  ( abs `  S )  =  1
152, 1, 6, 11, 12, 13, 3, 14normlem4 21694 . 2  |-  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) ) 
.ih  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G
) ) )  =  ( ( ( A  x.  ( R ^
2 ) )  +  ( B  x.  R
) )  +  C
)
1610, 15breqtri 4048 1  |-  0  <_  ( ( ( A  x.  ( R ^
2 ) )  +  ( B  x.  R
) )  +  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    <_ cle 8870   -ucneg 9040   2c2 9797   ^cexp 11106   *ccj 11583   abscabs 11721   ~Hchil 21501    .h csm 21503    .ih csp 21504    -h cmv 21507
This theorem is referenced by:  normlem6  21696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-hfvadd 21582  ax-hv0cl 21585  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulass 21589  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-hvsub 21553
  Copyright terms: Public domain W3C validator