HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem5 Structured version   Unicode version

Theorem normlem5 22608
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1  |-  S  e.  CC
normlem1.2  |-  F  e. 
~H
normlem1.3  |-  G  e. 
~H
normlem2.4  |-  B  = 
-u ( ( ( * `  S )  x.  ( F  .ih  G ) )  +  ( S  x.  ( G 
.ih  F ) ) )
normlem3.5  |-  A  =  ( G  .ih  G
)
normlem3.6  |-  C  =  ( F  .ih  F
)
normlem4.7  |-  R  e.  RR
normlem4.8  |-  ( abs `  S )  =  1
Assertion
Ref Expression
normlem5  |-  0  <_  ( ( ( A  x.  ( R ^
2 ) )  +  ( B  x.  R
) )  +  C
)

Proof of Theorem normlem5
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . 4  |-  F  e. 
~H
2 normlem1.1 . . . . . 6  |-  S  e.  CC
3 normlem4.7 . . . . . . 7  |-  R  e.  RR
43recni 9094 . . . . . 6  |-  R  e.  CC
52, 4mulcli 9087 . . . . 5  |-  ( S  x.  R )  e.  CC
6 normlem1.3 . . . . 5  |-  G  e. 
~H
75, 6hvmulcli 22509 . . . 4  |-  ( ( S  x.  R )  .h  G )  e. 
~H
81, 7hvsubcli 22516 . . 3  |-  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) )  e. 
~H
9 hiidge0 22592 . . 3  |-  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G
) )  .ih  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) ) ) )
108, 9ax-mp 8 . 2  |-  0  <_  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G
) )  .ih  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) ) )
11 normlem2.4 . . 3  |-  B  = 
-u ( ( ( * `  S )  x.  ( F  .ih  G ) )  +  ( S  x.  ( G 
.ih  F ) ) )
12 normlem3.5 . . 3  |-  A  =  ( G  .ih  G
)
13 normlem3.6 . . 3  |-  C  =  ( F  .ih  F
)
14 normlem4.8 . . 3  |-  ( abs `  S )  =  1
152, 1, 6, 11, 12, 13, 3, 14normlem4 22607 . 2  |-  ( ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G ) ) 
.ih  ( F  -h  ( ( S  x.  R )  .h  G
) ) )  =  ( ( ( A  x.  ( R ^
2 ) )  +  ( B  x.  R
) )  +  C
)
1610, 15breqtri 4227 1  |-  0  <_  ( ( ( A  x.  ( R ^
2 ) )  +  ( B  x.  R
) )  +  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113   -ucneg 9284   2c2 10041   ^cexp 11374   *ccj 11893   abscabs 12031   ~Hchil 22414    .h csm 22416    .ih csp 22417    -h cmv 22420
This theorem is referenced by:  normlem6  22609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hfvadd 22495  ax-hv0cl 22498  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulass 22502  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-hvsub 22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator