Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem6 Structured version   Unicode version

Theorem normlem6 22607
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1
normlem1.2
normlem1.3
normlem2.4
normlem3.5
normlem3.6
normlem6.7
Assertion
Ref Expression
normlem6

Proof of Theorem normlem6
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normlem3.5 . . . . . . . . 9
2 normlem1.3 . . . . . . . . . 10
3 hiidrcl 22587 . . . . . . . . . 10
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . . 9
51, 4eqeltri 2505 . . . . . . . 8
65a1i 11 . . . . . . 7
7 normlem1.1 . . . . . . . . 9
8 normlem1.2 . . . . . . . . 9
9 normlem2.4 . . . . . . . . 9
107, 8, 2, 9normlem2 22603 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7
12 normlem3.6 . . . . . . . . 9
13 hiidrcl 22587 . . . . . . . . . 10
148, 13ax-mp 8 . . . . . . . . 9
1512, 14eqeltri 2505 . . . . . . . 8
1615a1i 11 . . . . . . 7
17 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13
1817oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12
19 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11
2120oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10
2221breq2d 4216 . . . . . . . . 9
23 0re 9081 . . . . . . . . . . 11
2423elimel 3783 . . . . . . . . . 10
25 normlem6.7 . . . . . . . . . 10
267, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25normlem5 22606 . . . . . . . . 9
2722, 26dedth 3772 . . . . . . . 8
2827adantl 453 . . . . . . 7
296, 11, 16, 28discr 11506 . . . . . 6
3029trud 1332 . . . . 5
3110resqcli 11457 . . . . . 6
32 4re 10063 . . . . . . 7
335, 15remulcli 9094 . . . . . . 7
3432, 33remulcli 9094 . . . . . 6
3531, 34, 23lesubadd2i 9577 . . . . 5
3630, 35mpbi 200 . . . 4
3734recni 9092 . . . . 5
3837addid1i 9243 . . . 4
3936, 38breqtri 4227 . . 3
4010sqge0i 11459 . . . 4
41 4pos 10076 . . . . . 6
4223, 32, 41ltleii 9186 . . . . 5
43 hiidge0 22590 . . . . . . . 8
442, 43ax-mp 8 . . . . . . 7
4544, 1breqtrri 4229 . . . . . 6
46 hiidge0 22590 . . . . . . . 8
478, 46ax-mp 8 . . . . . . 7
4847, 12breqtrri 4229 . . . . . 6
495, 15mulge0i 9564 . . . . . 6
5045, 48, 49mp2an 654 . . . . 5
5132, 33mulge0i 9564 . . . . 5
5242, 50, 51mp2an 654 . . . 4
5331, 34sqrlei 12182 . . . 4
5440, 52, 53mp2an 654 . . 3
5539, 54mpbi 200 . 2
5610absrei 12175 . 2
5732, 33, 42, 50sqrmulii 12180 . . 3
58 sqr4 12068 . . . 4
595, 15, 45, 48sqrmulii 12180 . . . 4
6058, 59oveq12i 6085 . . 3
6157, 60eqtr2i 2456 . 2
6255, 56, 613brtr4i 4232 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wtru 1325   wceq 1652   wcel 1725  cif 3731   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cr 8979  cc0 8980  c1 8981   caddc 8983   cmul 8985   cle 9111   cmin 9281  cneg 9282  c2 10039  c4 10041  cexp 11372  ccj 11891  csqr 12028  cabs 12029  chil 22412   csp 22415 This theorem is referenced by:  normlem7  22608 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-hfvadd 22493  ax-hv0cl 22496  ax-hfvmul 22498  ax-hvmulass 22500  ax-hvmul0 22503  ax-hfi 22571  ax-his1 22574  ax-his2 22575  ax-his3 22576  ax-his4 22577 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-hvsub 22464
 Copyright terms: Public domain W3C validator