Theorem normlem6 8976

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem2.4	|- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
normlem3.5	|- A = (G .ih G)
normlem3.6	|- C = (F .ih F)
normlem6.7	|- (abs` S) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	|- (abs` B) <_ (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C)))

Proof of Theorem normlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.3	. . . . . . . 8 |- G e. H~
2		hiidge0t 8959	. . . . . . . 8 |- (G e. H~ -> 0 <_ (G .ih G))
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 <_ (G .ih G)
4		normlem3.5	. . . . . . 7 |- A = (G .ih G)
5	3, 4	breqtrr 2645	. . . . . 6 |- 0 <_ A
6		hiidrclt 8956	. . . . . . . . 9 |- (G e. H~ -> (G .ih G) e. RR)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (G .ih G) e. RR
8	4, 7	eqeltr 1547	. . . . . . 7 |- A e. RR
9		normlem1.1	. . . . . . . 8 |- S e. CC
10		normlem1.2	. . . . . . . 8 |- F e. H~
11		normlem2.4	. . . . . . . 8 |- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
12	9, 10, 1, 11	normlem2 8972	. . . . . . 7 |- B e. RR
13		normlem3.6	. . . . . . . 8 |- C = (F .ih F)
14		hiidrclt 8956	. . . . . . . . 9 |- (F e. H~ -> (F .ih F) e. RR)
15	10, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (F .ih F) e. RR
16	13, 15	eqeltr 1547	. . . . . . 7 |- C e. RR
17		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (x^2) = (if(x e. RR, x, 0)^2))
18	17	opreq2d 3982	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (A x. (x^2)) = (A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)))
19		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (B x. x) = (B x. if(x e. RR, x, 0)))
20	18, 19	opreq12d 3984	. . . . . . . . . . 11 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> ((A x. (x^2)) + (B x. x)) = ((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))))
21	20	opreq1d 3981	. . . . . . . . . 10 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) = (((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))) + C))
22	21	breq2d 2635	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) <-> 0 <_ (((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))) + C)))
23		0re 5452	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
24	23	elimel 2398	. . . . . . . . . 10 |- if(x e. RR, x, 0) e. RR
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 |- (abs` S) = 1
26	9, 10, 1, 11, 4, 13, 24, 25	normlem5 8975	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ (((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))) + C)
27	22, 26	dedth 2387	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C))
28	27	rgen 1701	. . . . . . 7 |- A.x e. RR 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C)
29	8, 12, 16, 28	discrlem 6660	. . . . . 6 |- (0 <_ A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
30	5, 29	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0
31	12	resqcl 6624	. . . . . 6 |- (B^2) e. RR
32		4re 5984	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
33	8, 16	remulcl 5347	. . . . . . 7 |- (A x. C) e. RR
34	32, 33	remulcl 5347	. . . . . 6 |- (4 x. (A x. C)) e. RR
35	31, 34, 23	lesubadd2 5650	. . . . 5 |- (((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0 <-> (B^2) <_ ((4 x. (A x. C)) + 0))
36	30, 35	mpbi 189	. . . 4 |- (B^2) <_ ((4 x. (A x. C)) + 0)
37	34	recn 5326	. . . . 5 |- (4 x. (A x. C)) e. CC
38	37	addid1 5342	. . . 4 |- ((4 x. (A x. C)) + 0) = (4 x. (A x. C))
39	36, 38	breqtr 2643	. . 3 |- (B^2) <_ (4 x. (A x. C))
40	12	sqge0 6629	. . . 4 |- 0 <_ (B^2)
41		4pos 5994	. . . . . 6 |- 0 < 4
42	23, 32, 41	ltlei 5593	. . . . 5 |- 0 <_ 4
43		hiidge0t 8959	. . . . . . . 8 |- (F e. H~ -> 0 <_ (F .ih F))
44	10, 43	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 <_ (F .ih F)
45	44, 13	breqtrr 2645	. . . . . 6 |- 0 <_ C
46	8, 16	mulge0 5619	. . . . . 6 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C) -> 0 <_ (A x. C))
47	5, 45, 46	mp2an 699	. . . . 5 |- 0 <_ (A x. C)
48	32, 33	mulge0 5619	. . . . 5 |- ((0 <_ 4 /\ 0 <_ (A x. C)) -> 0 <_ (4 x. (A x. C)))
49	42, 47, 48	mp2an 699	. . . 4 |- 0 <_ (4 x. (A x. C))
50	31, 34	sqrle 6708	. . . 4 |- ((0 <_ (B^2) /\ 0 <_ (4 x. (A x. C))) -> ((B^2) <_ (4 x. (A x. C)) <-> (sqr` (B^2)) <_ (sqr` (4 x. (A x. C)))))
51	40, 49, 50	mp2an 699	. . 3 |- ((B^2) <_ (4 x. (A x. C)) <-> (sqr` (B^2)) <_ (sqr` (4 x. (A x. C))))
52	39, 51	mpbi 189	. 2 |- (sqr` (B^2)) <_ (sqr` (4 x. (A x. C)))
53	12	absre 6874	. 2 |- (abs` B) = (sqr` (B^2))
54	32, 33, 42, 47	sqrmuli 6705	. . 3 |- (sqr` (4 x. (A x. C))) = ((sqr` 4) x. (sqr` (A x. C)))
55		sqr4 6718	. . . 4 |- (sqr` 4) = 2
56	8, 16, 5, 45	sqrmuli 6705	. . . 4 |- (sqr` (A x. C)) = ((sqr` A) x. (sqr` C))
57	55, 56	opreq12i 3979	. . 3 |- ((sqr` 4) x. (sqr` (A x. C))) = (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C)))
58	54, 57	eqtr2 1499	. 2 |- (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C))) = (sqr` (4 x. (A x. C)))
59	52, 53, 58	3brtr4 2648	1 |- (abs` B) <_ (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2365   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304  -ucneg 5305   <_ cle 5307  2c2 5963  4c4 5965  ^cexp 6569  sqrcsqr 6670  *ccj 6750  abscabs 6751  H~chil 8783   .ih csp 8788

This theorem is referenced by:  normlem7 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulass 8872  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain