HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem9at Unicode version

Theorem normlem9at 22606
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normlem9at  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) ) )

Proof of Theorem normlem9at
StepHypRef Expression
1 oveq1 6074 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )
21, 1oveq12d 6085 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
3 id 20 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  A  =  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )
43, 3oveq12d 6085 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  A )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
54oveq1d 6082 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  A
)  +  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) ) )
6 oveq1 6074 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
7 oveq2 6075 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( B  .ih  A )  =  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
86, 7oveq12d 6085 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
95, 8oveq12d 6085 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  A )  +  ( B 
.ih  B ) )  -  ( ( A 
.ih  B )  +  ( B  .ih  A
) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ) )
102, 9eqeq12d 2444 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ) ) )
11 oveq2 6075 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1211, 11oveq12d 6085 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
)  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
13 id 20 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  B  =  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )
1413, 13oveq12d 6085 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  B )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1514oveq2d 6083 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  +  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
16 oveq2 6075 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
17 oveq1 6074 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
1816, 17oveq12d 6085 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
1915, 18oveq12d 6085 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) ) )
2012, 19eqeq12d 2444 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) ) ) )
21 ax-hv0cl 22489 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
2221elimel 3778 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
2321elimel 3778 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
2422, 23, 22, 23normlem9 22603 . 2  |-  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) )
2510, 20, 24dedth2h 3768 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3726  (class class class)co 6067    + caddc 8977    - cmin 9275   ~Hchil 22405    .ih csp 22408   0hc0v 22410    -h cmv 22411
This theorem is referenced by:  unopf1o  23402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-hfvadd 22486  ax-hv0cl 22489  ax-hfvmul 22491  ax-hfi 22564  ax-his1 22567  ax-his2 22568  ax-his3 22569
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-2 10042  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-hvsub 22457
  Copyright terms: Public domain W3C validator