HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem9at Unicode version

Theorem normlem9at 21625
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normlem9at  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) ) )

Proof of Theorem normlem9at
StepHypRef Expression
1 oveq1 5764 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )
21, 1oveq12d 5775 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
3 id 21 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  A  =  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )
43, 3oveq12d 5775 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  A )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
54oveq1d 5772 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  A
)  +  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) ) )
6 oveq1 5764 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
7 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( B  .ih  A )  =  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
86, 7oveq12d 5775 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
95, 8oveq12d 5775 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  A )  +  ( B 
.ih  B ) )  -  ( ( A 
.ih  B )  +  ( B  .ih  A
) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ) )
102, 9eqeq12d 2270 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ) ) )
11 oveq2 5765 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1211, 11oveq12d 5775 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
)  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
13 id 21 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  B  =  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )
1413, 13oveq12d 5775 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  B )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1514oveq2d 5773 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  +  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
16 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
17 oveq1 5764 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
1816, 17oveq12d 5775 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
1915, 18oveq12d 5775 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) ) )
2012, 19eqeq12d 2270 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) ) ) )
21 ax-hv0cl 21508 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
2221elimel 3558 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
2321elimel 3558 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
2422, 23, 22, 23normlem9 21622 . 2  |-  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) )
2510, 20, 24dedth2h 3548 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3506  (class class class)co 5757    + caddc 8673    - cmin 8970   ~Hchil 21424    .ih csp 21427   0hc0v 21429    -h cmv 21430
This theorem is referenced by:  unopf1o  22421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-hfvadd 21505  ax-hv0cl 21508  ax-hfvmul 21510  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-2 9737  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-hvsub 21476
  Copyright terms: Public domain W3C validator