HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem9at Unicode version

Theorem normlem9at 21661
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normlem9at  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) ) )

Proof of Theorem normlem9at
StepHypRef Expression
1 oveq1 5799 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )
21, 1oveq12d 5810 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
3 id 21 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  A  =  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )
43, 3oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  A )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
54oveq1d 5807 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  A
)  +  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) ) )
6 oveq1 5799 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
7 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( B  .ih  A )  =  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
86, 7oveq12d 5810 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
95, 8oveq12d 5810 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  A )  +  ( B 
.ih  B ) )  -  ( ( A 
.ih  B )  +  ( B  .ih  A
) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ) )
102, 9eqeq12d 2272 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ) ) )
11 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1211, 11oveq12d 5810 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
)  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
13 id 21 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  B  =  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )
1413, 13oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  B )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1514oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  +  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
16 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
17 oveq1 5799 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
1816, 17oveq12d 5810 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
1915, 18oveq12d 5810 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) ) )
2012, 19eqeq12d 2272 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( B  .ih  B ) )  -  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  +  ( B  .ih  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) ) ) )
21 ax-hv0cl 21544 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
2221elimel 3591 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
2321elimel 3591 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
2422, 23, 22, 23normlem9 21658 . 2  |-  ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  +  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  +  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) ) ) )
2510, 20, 24dedth2h 3581 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( A  .ih  A )  +  ( B  .ih  B ) )  -  (
( A  .ih  B
)  +  ( B 
.ih  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3539  (class class class)co 5792    + caddc 8708    - cmin 9005   ~Hchil 21460    .ih csp 21463   0hc0v 21465    -h cmv 21466
This theorem is referenced by:  unopf1o  22457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-hfvadd 21541  ax-hv0cl 21544  ax-hfvmul 21546  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his2 21623  ax-his3 21624
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-hvsub 21512
  Copyright terms: Public domain W3C validator