Theorem normpar 9016

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98.

Hypotheses

Ref	Expression
normpar.1	|- A e. H~
normpar.2	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
normpar	|- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))

Proof of Theorem normpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normpar.1	. . . . . 6 |- A e. H~
2		normpar.2	. . . . . 6 |- B e. H~
3	1, 2, 1, 2	normlem9 8979	. . . . 5 |- ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A)))
4	1, 1	hicl 8943	. . . . . . 7 |- (A .ih A) e. CC
5	2, 2	hicl 8943	. . . . . . 7 |- (B .ih B) e. CC
6	4, 5	addcl 5332	. . . . . 6 |- ((A .ih A) + (B .ih B)) e. CC
7	1, 2	hicl 8943	. . . . . . 7 |- (A .ih B) e. CC
8	2, 1	hicl 8943	. . . . . . 7 |- (B .ih A) e. CC
9	7, 8	addcl 5332	. . . . . 6 |- ((A .ih B) + (B .ih A)) e. CC
10	6, 9	negsub 5393	. . . . 5 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A)))
11	3, 10	eqtr4 1501	. . . 4 |- ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))
12	1, 2, 1, 2	normlem8 8978	. . . 4 |- ((A +h B) .ih (A +h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A)))
13	11, 12	opreq12i 3979	. . 3 |- (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) + (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A))))
14	9	negcl 5381	. . . 4 |- -u((A .ih B) + (B .ih A)) e. CC
15	6, 14, 6, 9	add42 5355	. . 3 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) + (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A)))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))))
16	9	negid 5392	. . . . 5 |- (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) = 0
17	16	opreq2i 3978	. . . 4 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + 0)
18	6, 6	addcl 5332	. . . . 5 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) e. CC
19	18	addid1 5342	. . . 4 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + 0) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B)))
20	4, 5, 4, 5	add4 5354	. . . 4 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
21	17, 19, 20	3eqtr 1502	. . 3 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
22	13, 15, 21	3eqtr 1502	. 2 |- (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
23	1, 2	hvsubcl 8886	. . . 4 |- (A -h B) e. H~
24	23	normsq 8994	. . 3 |- ((normh` (A -h B))^2) = ((A -h B) .ih (A -h B))
25	1, 2	hvaddcl 8883	. . . 4 |- (A +h B) e. H~
26	25	normsq 8994	. . 3 |- ((normh` (A +h B))^2) = ((A +h B) .ih (A +h B))
27	24, 26	opreq12i 3979	. 2 |- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B)))
28	1	normsq 8994	. . . . 5 |- ((normh` A)^2) = (A .ih A)
29	28	opreq2i 3978	. . . 4 |- (2 x. ((normh` A)^2)) = (2 x. (A .ih A))
30	4	2times 6005	. . . 4 |- (2 x. (A .ih A)) = ((A .ih A) + (A .ih A))
31	29, 30	eqtr 1498	. . 3 |- (2 x. ((normh` A)^2)) = ((A .ih A) + (A .ih A))
32	2	normsq 8994	. . . . 5 |- ((normh` B)^2) = (B .ih B)
33	32	opreq2i 3978	. . . 4 |- (2 x. ((normh` B)^2)) = (2 x. (B .ih B))
34	5	2times 6005	. . . 4 |- (2 x. (B .ih B)) = ((B .ih B) + (B .ih B))
35	33, 34	eqtr 1498	. . 3 |- (2 x. ((normh` B)^2)) = ((B .ih B) + (B .ih B))
36	31, 35	opreq12i 3979	. 2 |- ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
37	22, 27, 36	3eqtr4 1508	1 |- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304  -ucneg 5305  2c2 5963  ^cexp 6569  H~chil 8783   +h cva 8784   -h cmv 8787   .ih csp 8788  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  normpart 9017  normpar2 9018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain