Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpari Structured version   Unicode version

Theorem normpari 22648
 Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar.1
normpar.2
Assertion
Ref Expression
normpari

Proof of Theorem normpari
StepHypRef Expression
1 normpar.1 . . . . 5
2 normpar.2 . . . . 5
31, 2hvsubcli 22516 . . . 4
43normsqi 22626 . . 3
51, 2hvaddcli 22513 . . . 4
65normsqi 22626 . . 3
74, 6oveq12i 6085 . 2
81normsqi 22626 . . . . . 6
98oveq2i 6084 . . . . 5
101, 1hicli 22575 . . . . . 6
11102timesi 10093 . . . . 5
129, 11eqtri 2455 . . . 4
132normsqi 22626 . . . . . 6
1413oveq2i 6084 . . . . 5
152, 2hicli 22575 . . . . . 6
16152timesi 10093 . . . . 5
1714, 16eqtri 2455 . . . 4
1812, 17oveq12i 6085 . . 3
191, 2, 1, 2normlem9 22612 . . . . . 6
2010, 15addcli 9086 . . . . . . 7
211, 2hicli 22575 . . . . . . . 8
222, 1hicli 22575 . . . . . . . 8
2321, 22addcli 9086 . . . . . . 7
2420, 23negsubi 9370 . . . . . 6
2519, 24eqtr4i 2458 . . . . 5
261, 2, 1, 2normlem8 22611 . . . . 5
2725, 26oveq12i 6085 . . . 4
2823negcli 9360 . . . . 5
2920, 28, 20, 23add42i 9278 . . . 4
3023negidi 9361 . . . . . 6
3130oveq2i 6084 . . . . 5
3220, 20addcli 9086 . . . . . 6
3332addid1i 9245 . . . . 5
3410, 15, 10, 15add4i 9277 . . . . 5
3531, 33, 343eqtri 2459 . . . 4
3627, 29, 353eqtri 2459 . . 3
3718, 36eqtr4i 2458 . 2
387, 37eqtr4i 2458 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283  cneg 9284  c2 10041  cexp 11374  chil 22414   cva 22415   csp 22417  cno 22418   cmv 22420 This theorem is referenced by:  normpar  22649  normpar2i  22650 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hfvadd 22495  ax-hv0cl 22498  ax-hfvmul 22500  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-hnorm 22463  df-hvsub 22466
 Copyright terms: Public domain W3C validator