Theorem normpart 9022

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
normpart	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))))

Proof of Theorem normpart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h B))
2	1	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` (A -h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)))
3	2	opreq1d 3975	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` (A -h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2))
4		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A +h B) = (if(A e. H~, A, 0h) +h B))
5	4	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` (A +h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B)))
6	5	opreq1d 3975	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` (A +h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2))
7	3, 6	opreq12d 3978	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)))
8		fveq2 3724	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` A) = (normh` if(A e. H~, A, 0h)))
9	8	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` A)^2) = ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2))
10	9	opreq2d 3976	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (2 x. ((normh` A)^2)) = (2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)))
11	10	opreq1d 3975	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))))
12	7, 11	eqeq12d 1489	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) <-> (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))))
13		opreq2 3969	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))
14	13	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))))
15	14	opreq1d 3975	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2))
16		opreq2 3969	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) +h B) = (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))
17	16	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h))))
18	17	opreq1d 3975	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2))
19	15, 18	opreq12d 3978	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)) = (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2)))
20		fveq2 3724	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` B) = (normh` if(B e. H~, B, 0h)))
21	20	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` B)^2) = ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2))
22	21	opreq2d 3976	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (2 x. ((normh` B)^2)) = (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))
23	22	opreq2d 3976	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2))))
24	19, 23	eqeq12d 1489	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) <-> (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))))
25		ax-hv0cl 8873	. . . 4 |- 0h e. H~
26	25	elimel 2394	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0h) e. H~
27	25	elimel 2394	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0h) e. H~
28	26, 27	normpar 9021	. 2 |- (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))
29	12, 24, 28	dedth2h 2387	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   + caddc 5237   x. cmul 5239  2c2 5961  ^cexp 6568  H~chil 8788   +h cva 8789  0hc0v 8791   -h cmv 8792  normhcno 8794

This theorem is referenced by:  hhph 9045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel