HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpyc Unicode version

Theorem normpyc 21721
Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpyc  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( normh `  A )  <_  ( normh `  ( A  +h  B ) ) ) )

Proof of Theorem normpyc
StepHypRef Expression
1 normcl 21700 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
21resqcld 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
32recnd 8857 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  CC )
43addid1d 9008 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  A
) ^ 2 ) )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  A ) ^ 2 ) )
6 normcl 21700 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( normh `  B )  e.  RR )
76sqge0d 11268 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( normh `  B
) ^ 2 ) )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  0  <_  ( ( normh `  B ) ^
2 ) )
96resqcld 11267 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( normh `  B ) ^ 2 )  e.  RR )
10 0re 8834 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
11 leadd2 9239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( ( normh `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( ( normh `  B ) ^
2 )  <->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) ) )
1210, 11mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( normh `  B
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
( normh `  A ) ^ 2 )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( ( normh `  B ) ^
2 )  <->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) ) )
139, 2, 12syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( normh `  B ) ^ 2 )  <->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  (
( ( normh `  A
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) ) )
148, 13mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  0 )  <_  ( ( (
normh `  A ) ^
2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) )
155, 14eqbrtrrd 4046 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( (
normh `  A ) ^
2 )  +  ( ( normh `  B ) ^ 2 ) ) )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( A  .ih  B
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  A ) ^ 2 )  <_  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B
) ^ 2 ) ) )
17 normpyth 21720 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( ( normh `  ( A  +h  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  B ) ^
2 ) ) ) )
1817imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( A  .ih  B
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( A  +h  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  B
) ^ 2 ) ) )
1916, 18breqtrrd 4050 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( A  .ih  B
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  A ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( A  +h  B ) ) ^
2 ) )
2019ex 423 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( ( normh `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( A  +h  B
) ) ^ 2 ) ) )
211adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
22 hvaddcl 21588 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  B
)  e.  ~H )
23 normcl 21700 . . . 4  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( A  +h  B ) )  e.  RR )
2422, 23syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( A  +h  B ) )  e.  RR )
25 normge0 21701 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
2625adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  A ) )
27 normge0 21701 . . . 4  |-  ( ( A  +h  B )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( A  +h  B ) ) )
2822, 27syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  ( A  +h  B
) ) )
2921, 24, 26, 28le2sqd 11276 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
)  <_  ( normh `  ( A  +h  B
) )  <->  ( ( normh `  A ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( A  +h  B ) ) ^
2 ) ) )
3020, 29sylibrd 225 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .ih  B )  =  0  -> 
( normh `  A )  <_  ( normh `  ( A  +h  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    + caddc 8736    <_ cle 8864   2c2 9791   ^cexp 11100   ~Hchil 21495    +h cva 21496    .ih csp 21498   normhcno 21499
This theorem is referenced by:  pjnormi  22296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-hfvadd 21576  ax-hv0cl 21579  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his2 21658  ax-his3 21659  ax-his4 21660
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-hnorm 21544
  Copyright terms: Public domain W3C validator