Theorem normpytht 9007

Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
normpytht	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A .ih B) = 0 -> ((normh` (A +h B))^2) = (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))))

Proof of Theorem normpytht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A .ih B) = (if(A e. H~, A, 0h) .ih B))
2	1	eqeq1d 1486	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((A .ih B) = 0 <-> (if(A e. H~, A, 0h) .ih B) = 0))
3		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A +h B) = (if(A e. H~, A, 0h) +h B))
4	3	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` (A +h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B)))
5	4	opreq1d 3981	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` (A +h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2))
6		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` A) = (normh` if(A e. H~, A, 0h)))
7	6	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` A)^2) = ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2))
8	7	opreq1d 3981	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2)) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` B)^2)))
9	5, 8	eqeq12d 1492	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((normh` (A +h B))^2) = (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2)) <-> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` B)^2))))
10	2, 9	imbi12d 628	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((A .ih B) = 0 -> ((normh` (A +h B))^2) = (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))) <-> ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) = 0 -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` B)^2)))))
11		opreq2 3975	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) .ih B) = (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)))
12	11	eqeq1d 1486	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) = 0 <-> (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)) = 0))
13		opreq2 3975	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) +h B) = (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))
14	13	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h))))
15	14	opreq1d 3981	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2))
16		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` B) = (normh` if(B e. H~, B, 0h)))
17	16	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` B)^2) = ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2))
18	17	opreq2d 3982	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` B)^2)) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))
19	15, 18	eqeq12d 1492	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` B)^2)) <-> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2))))
20	12, 19	imbi12d 628	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) = 0 -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` B)^2))) <-> ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)) = 0 -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))))
21		ax-hv0cl 8868	. . . 4 |- 0h e. H~
22	21	elimel 2398	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0h) e. H~
23	21	elimel 2398	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0h) e. H~
24	22, 23	normpyth 9004	. 2 |- ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)) = 0 -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2) = (((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2) + ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))
25	10, 20, 24	dedth2h 2391	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A .ih B) = 0 -> ((normh` (A +h B))^2) = (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2365  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  0cc0 5246   + caddc 5249  2c2 5963  ^cexp 6569  H~chil 8783   +h cva 8784  0hc0v 8786   .ih csp 8788  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  normpyct 9008  osumlem2 9574  hstnmoct 10145  hstpytht 10151

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-hnorm 8832

Copyright terms: Public domain