Theorem npex 5071

Description: The class of positive reals is a set.

Assertion

Ref	Expression
npex	|- P. e. V

Proof of Theorem npex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 5029	. . 3 |- Q. e. V
2	1	pwex 2740	. 2 |- P~Q. e. V
3		pssss 2139	. . . . 5 |- (x (. Q. -> x (_ Q.)
4	3	ad2antlr 405	. . . 4 |- ((((/) (. x /\ x (. Q.) /\ A.y e. x (A.z(z <Q y -> z e. x) /\ E.z e. x y <Q z)) -> x (_ Q.)
5	4	ss2abi 2116	. . 3 |- {x | (((/) (. x /\ x (. Q.) /\ A.y e. x (A.z(z <Q y -> z e. x) /\ E.z e. x y <Q z))} (_ {x | x (_ Q.}
6		df-np 5066	. . 3 |- P. = {x | (((/) (. x /\ x (. Q.) /\ A.y e. x (A.z(z <Q y -> z e. x) /\ E.z e. x y <Q z))}
7		df-pw 2398	. . 3 |- P~Q. = {x | x (_ Q.}
8	5, 6, 7	3sstr4 2096	. 2 |- P. (_ P~Q.
9	2, 8	ssexi 2715	1 |- P. e. V

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 952   e. wcel 956  {cab 1461  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043   (. wpss 2044  (/)c0 2276  P~cpw 2397   class class class wbr 2614  Q.cnq 4959   <Q cltq 4964  P.cnp 4965

This theorem is referenced by:  suplem2pr 5142  enrex 5158  srex 5159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-qs 4256  df-ni 4980  df-nq 5018  df-np 5066

Copyright terms: Public domain