Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqereq Structured version   Unicode version

Theorem nqereq 8812
 Description: The function acts as a substitute for equivalence classes, and it satisfies the fundamental requirement for equivalence representatives: the representatives are equal iff the members are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqereq

Proof of Theorem nqereq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8808 . . . . 5
213ad2ant1 978 . . . 4
3 nqercl 8808 . . . . 5
433ad2ant2 979 . . . 4
5 enqer 8798 . . . . . 6
65a1i 11 . . . . 5
7 nqerrel 8809 . . . . . . 7
873ad2ant1 978 . . . . . 6
9 simp3 959 . . . . . 6
106, 8, 9ertr3d 6923 . . . . 5
11 nqerrel 8809 . . . . . 6
12113ad2ant2 979 . . . . 5
136, 10, 12ertrd 6921 . . . 4
14 enqeq 8811 . . . 4
152, 4, 13, 14syl3anc 1184 . . 3
16153expia 1155 . 2
175a1i 11 . . . 4
187adantr 452 . . . . 5
19 simprr 734 . . . . 5
2018, 19breqtrd 4236 . . . 4
2111ad2antrl 709 . . . 4
2217, 20, 21ertr4d 6924 . . 3
2322expr 599 . 2
2416, 23impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4212   cxp 4876  cfv 5454   wer 6902  cnpi 8719   ceq 8726  cnq 8727  cerq 8729 This theorem is referenced by:  adderpq  8833  mulerpq  8834  distrnq  8838  recmulnq  8841  ltexnq  8852 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-mi 8751  df-lti 8752  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-1nq 8793
 Copyright terms: Public domain W3C validator