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Theorem nqereu 8553
Description: There is a unique element of  Q. equivalent to each element of  N.  X.  N.. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqereu  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E! x  e.  Q.  x  ~Q  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nqereu
Dummy variables  a 
b  y  c  d  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp2 4707 . . 3  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  <->  E. a  e.  N.  E. b  e.  N.  A  =  <. a ,  b
>. )
2 pion 8503 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  N.  ->  b  e.  On )
3 suceloni 4604 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  suc  b  e.  On )
42, 3syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  N.  ->  suc  b  e.  On )
5 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
65sucid 4471 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
suc  b
7 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  suc  b  -> 
( b  e.  y  <-> 
b  e.  suc  b
) )
87rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  b  e.  On  /\  b  e.  suc  b
)  ->  E. y  e.  On  b  e.  y )
94, 6, 8sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  N.  ->  E. y  e.  On  b  e.  y )
109adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  E. y  e.  On  b  e.  y )
11 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  m  ->  (
b  e.  y  <->  b  e.  m ) )
1211imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  m  ->  (
( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. )  <->  ( b  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) )
13122ralbidv 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  m  ->  ( A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  (
b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. )  <->  A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  (
b  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
14 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  a  ->  <. c ,  d >.  =  <. a ,  d >. )
1514breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  a  ->  (
x  ~Q  <. c ,  d >.  <->  x  ~Q  <. a ,  d >. )
)
1615rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  a  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. 
<->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  d
>. ) )
1716imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  a  ->  (
( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  <->  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  d >. )
) )
18 elequ1 1687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  b  ->  (
d  e.  m  <->  b  e.  m ) )
19 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  b  ->  <. a ,  d >.  =  <. a ,  b >. )
2019breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  b  ->  (
x  ~Q  <. a ,  d >.  <->  x  ~Q  <. a ,  b >. )
)
2120rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  b  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  d
>. 
<->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
2218, 21imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  b  ->  (
( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  d
>. )  <->  ( b  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) )
2317, 22cbvral2v 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  <->  A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  (
b  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
2423ralbii 2567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  <->  A. m  e.  y  A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  ( b  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
)
25 rexnal 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. z  e.  ( N. 
X.  N. )  -.  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N 
b )  <->  -.  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b ) )
26 pm4.63 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  ( <. a ,  b
>.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z ) 
<N  b )  <->  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z
)  <N  b ) )
27 xp2nd 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  z )  e.  N. )
28 ltpiord 8511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 2nd `  z
)  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( ( 2nd `  z
)  <N  b  <->  ( 2nd `  z )  e.  b ) )
2928ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  N.  /\  ( 2nd `  z )  e.  N. )  -> 
( ( 2nd `  z
)  <N  b  <->  ( 2nd `  z )  e.  b ) )
3027, 29sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  N.  /\  z  e.  ( N.  X.  N. ) )  -> 
( ( 2nd `  z
)  <N  b  <->  ( 2nd `  z )  e.  b ) )
3130adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( 2nd `  z )  <N  b  <->  ( 2nd `  z )  e.  b ) )
3231anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( <.
a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z )  <N 
b )  <->  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b ) ) )
3326, 32syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( -.  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N 
b )  <->  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b ) ) )
3433rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( E. z  e.  ( N.  X.  N. )  -.  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b )  <->  E. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b ) ) )
3525, 34syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( -.  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b )  <->  E. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b ) ) )
36 xp1st 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  z )  e.  N. )
37 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  =  b  ->  (
d  e.  m  <->  d  e.  b ) )
3837imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  b  ->  (
( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  <->  ( d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )
) )
39382ralbidv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  b  ->  ( A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  <->  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. ) ) )
4039rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  ( b  e.  y  ->  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. ) ) )
41 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( c  =  ( 1st `  z
)  ->  <. c ,  d >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  d >. )
4241breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( c  =  ( 1st `  z
)  ->  ( x  ~Q  <. c ,  d
>. 
<->  x  ~Q  <. ( 1st `  z ) ,  d >. ) )
4342rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( c  =  ( 1st `  z
)  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. 
<->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  d >.
) )
4443imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( c  =  ( 1st `  z
)  ->  ( (
d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  <->  ( d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z ) ,  d >. )
) )
4544ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( c  =  ( 1st `  z
)  ->  ( A. d  e.  N.  (
d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  <->  A. d  e.  N.  ( d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  d >.
) ) )
4645rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  N.  ->  A. d  e.  N.  (
d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  d >.
) ) )
47 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( d  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( d  e.  b  <->  ( 2nd `  z
)  e.  b ) )
48 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( d  =  ( 2nd `  z
)  ->  <. ( 1st `  z ) ,  d
>.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>. )
4948breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( d  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  d >.  <->  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
)
5049rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( d  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  d >.  <->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
)
5147, 50imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( d  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( (
d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  d >.
)  <->  ( ( 2nd `  z )  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
) )
5251rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A. d  e.  N.  (
d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  d >.
)  ->  ( ( 2nd `  z )  e. 
N.  ->  ( ( 2nd `  z )  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
) )
5346, 52syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  N.  ->  ( ( 2nd `  z
)  e.  N.  ->  ( ( 2nd `  z
)  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
) ) )
5440, 53syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  ( b  e.  y  ->  ( ( 1st `  z )  e.  N.  ->  ( ( 2nd `  z
)  e.  N.  ->  ( ( 2nd `  z
)  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
) ) ) )
5554imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  ->  (
( 1st `  z
)  e.  N.  ->  ( ( 2nd `  z
)  e.  N.  ->  ( ( 2nd `  z
)  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
) ) )
5636, 55syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  ->  (
z  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( 2nd `  z
)  e.  N.  ->  ( ( 2nd `  z
)  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
) ) )
5727, 56mpdi 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  ->  (
z  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( 2nd `  z
)  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
) )
58573imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
59 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( N.  X.  N. )  ->  z  = 
<. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
6059breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( x  ~Q  z  <->  x  ~Q  <.
( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
)
6160rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  z  <->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
)
62613ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b )  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  z  <->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
)
6358, 62mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  z )
64 enqer 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
6564a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
<. a ,  b >.  ~Q  z  /\  x  ~Q  z )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
66 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
<. a ,  b >.  ~Q  z  /\  x  ~Q  z )  ->  x  ~Q  z )
67 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
<. a ,  b >.  ~Q  z  /\  x  ~Q  z )  ->  <. a ,  b >.  ~Q  z
)
6865, 66, 67ertr4d 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
<. a ,  b >.  ~Q  z  /\  x  ~Q  z )  ->  x  ~Q  <. a ,  b
>. )
6968ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( <.
a ,  b >.  ~Q  z  ->  ( x  ~Q  z  ->  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
7069reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <.
a ,  b >.  ~Q  z  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  z  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
)
7163, 70syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b )  ->  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
72713expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( 2nd `  z
)  e.  b  -> 
( <. a ,  b
>.  ~Q  z  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) )
7372com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  ( ( 2nd `  z )  e.  b  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) )
7473imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  /\  z  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( <. a ,  b
>.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z )  e.  b )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
)
7574rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. m  e.  y 
A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  /\  b  e.  y )  ->  ( E. z  e.  ( N.  X.  N. ) (
<. a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z )  e.  b )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
)
7675ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  ( b  e.  y  ->  ( E. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z
)  e.  b )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
7776com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. z  e.  ( N. 
X.  N. ) ( <.
a ,  b >.  ~Q  z  /\  ( 2nd `  z )  e.  b )  ->  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) )
7835, 77syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( -.  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b )  -> 
( A. m  e.  y  A. c  e. 
N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d
>. )  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) ) )
7978com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  ( -.  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b )  -> 
( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) ) )
80 mulcompi 8520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  .N  b )  =  ( b  .N  a
)
81 enqbreq 8543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )
)  ->  ( <. a ,  b >.  ~Q  <. a ,  b >.  <->  ( a  .N  b )  =  ( b  .N  a ) ) )
8281anidms 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( <. a ,  b
>.  ~Q  <. a ,  b
>. 
<->  ( a  .N  b
)  =  ( b  .N  a ) ) )
8380, 82mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  -> 
<. a ,  b >.  ~Q  <. a ,  b
>. )
84 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
85 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  ~Q  z 
<-> 
<. a ,  b >.  ~Q  z ) )
86 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  a  e. 
_V
8786, 5op2ndd 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  b )
8887breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  y )  <->  ( 2nd `  z )  <N  b
) )
8988notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( -.  ( 2nd `  z )  <N 
( 2nd `  y
)  <->  -.  ( 2nd `  z )  <N  b
) )
9085, 89imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z ) 
<N  ( 2nd `  y
) )  <->  ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b ) ) )
9190ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  y ) )  <->  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) (
<. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N 
b ) ) )
92 df-nq 8536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Q.  =  { y  e.  ( N.  X.  N. )  |  A. z  e.  ( N.  X.  N. )
( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
) ) }
9391, 92elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  Q.  <->  ( <. a ,  b >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A. z  e.  ( N.  X.  N. )
( <. a ,  b
>.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z ) 
<N  b ) ) )
9493simplbi2 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b )  ->  <. a ,  b >.  e.  Q. ) )
9584, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b )  ->  <. a ,  b >.  e.  Q. ) )
96 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  <. a ,  b
>.  ->  ( x  ~Q  <.
a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
9796rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  Q.  /\  <. a ,  b >.  ~Q  <. a ,  b >. )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. )
9897expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
a ,  b >.  ~Q  <. a ,  b
>.  ->  ( <. a ,  b >.  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
9983, 95, 98sylsyld 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <. a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  b )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
10099com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <.
a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N 
b )  ->  (
( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
101100a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( <.
a ,  b >.  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N 
b )  ->  (
( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
10279, 101pm2.61d2 152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) )
103102ralrimivv 2634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  y  A. c  e.  N.  A. d  e.  N.  ( d  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. c ,  d >. )  ->  A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  (
b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
10424, 103sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  y  A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  ( b  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )  ->  A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  (
b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
105104a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. m  e.  y  A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  (
b  e.  m  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. )  ->  A. a  e.  N.  A. b  e. 
N.  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
) )
10613, 105tfis2 4647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  A. a  e.  N.  A. b  e. 
N.  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )
)
107 rsp 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  N.  A. b  e.  N.  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b >. )  ->  ( a  e.  N.  ->  A. b  e.  N.  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
a  e.  N.  ->  A. b  e.  N.  (
b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
109 rsp 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  N.  (
b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. )  ->  ( b  e.  N.  ->  (
b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
110108, 109syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  (
a  e.  N.  ->  ( b  e.  N.  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) ) )
111110imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  (
( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
112111com12 27 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( y  e.  On  ->  ( b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) ) )
113112rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( E. y  e.  On  b  e.  y  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
11410, 113mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. )
115 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. a ,  b
>.  ->  ( x  ~Q  A 
<->  x  ~Q  <. a ,  b >. )
)
116115rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( A  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  A  <->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  <. a ,  b
>. ) )
117114, 116syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( A  =  <. a ,  b >.  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  A
) )
118117rexlimivv 2672 . . 3  |-  ( E. a  e.  N.  E. b  e.  N.  A  =  <. a ,  b
>.  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  A )
1191, 118sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. x  e.  Q.  x  ~Q  A
)
120 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
x  ~Q  a  <->  x  ~Q  A ) )
121 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
y  ~Q  a  <->  y  ~Q  A ) )
122120, 121anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a
)  <->  ( x  ~Q  A  /\  y  ~Q  A
) ) )
123122imbi1d 308 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a
)  ->  x  =  y )  <->  ( (
x  ~Q  A  /\  y  ~Q  A )  ->  x  =  y )
) )
1241232ralbidv 2585 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a
)  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( ( x  ~Q  A  /\  y  ~Q  A )  ->  x  =  y ) ) )
12564a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. ) )
126 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a )  ->  x  ~Q  a )
127 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a )  -> 
y  ~Q  a )
128125, 126, 127ertr4d 6679 . . . . 5  |-  ( ( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a )  ->  x  ~Q  y )
129 mulcompi 8520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  x )  .N  ( 1st `  x
) )  =  ( ( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  x ) )
130 elpqn 8549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Q.  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
131 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
y  ~Q  z  <->  x  ~Q  z ) )
132 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  x
) )
133132breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
)  <->  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  x
) ) )
134133notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
)  <->  -.  ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  x ) ) )
135131, 134imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
) )  <->  ( x  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N 
( 2nd `  x
) ) ) )
136135ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
) )  <->  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( x  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  x ) ) ) )
137136, 92elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Q.  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( x  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  x ) ) ) )
138137simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  Q.  ->  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( x  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  x ) ) )
139 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
x  ~Q  z  <->  x  ~Q  y ) )
140 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  y  ->  ( 2nd `  z )  =  ( 2nd `  y
) )
141140breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  (
( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  x
)  <->  ( 2nd `  y
)  <N  ( 2nd `  x
) ) )
142141notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  x
)  <->  -.  ( 2nd `  y )  <N  ( 2nd `  x ) ) )
143139, 142imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  x
) )  <->  ( x  ~Q  y  ->  -.  ( 2nd `  y )  <N 
( 2nd `  x
) ) ) )
144143rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( x  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z ) 
<N  ( 2nd `  x
) ) )  -> 
( x  ~Q  y  ->  -.  ( 2nd `  y
)  <N  ( 2nd `  x
) ) )
145130, 138, 144syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  ~Q  y  ->  -.  ( 2nd `  y
)  <N  ( 2nd `  x
) ) )
146145imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  -.  ( 2nd `  y )  <N 
( 2nd `  x
) )
14764a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  ~Q  y  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
148 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  ~Q  y  ->  x  ~Q  y )
149147, 148ersym 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  ~Q  y  ->  y  ~Q  x )
150 elpqn 8549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  Q.  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
15192rabeq2i 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  Q.  <->  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  y ) ) ) )
152151simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  Q.  ->  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z )  <N  ( 2nd `  y ) ) )
153 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
y  ~Q  z  <->  y  ~Q  x ) )
154 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  x  ->  ( 2nd `  z )  =  ( 2nd `  x
) )
155154breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  x  ->  (
( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
)  <->  ( 2nd `  x
)  <N  ( 2nd `  y
) ) )
156155notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
)  <->  -.  ( 2nd `  x )  <N  ( 2nd `  y ) ) )
157153, 156imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z
)  <N  ( 2nd `  y
) )  <->  ( y  ~Q  x  ->  -.  ( 2nd `  x )  <N 
( 2nd `  y
) ) ) )
158157rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  A. z  e.  ( N.  X.  N. ) ( y  ~Q  z  ->  -.  ( 2nd `  z ) 
<N  ( 2nd `  y
) ) )  -> 
( y  ~Q  x  ->  -.  ( 2nd `  x
)  <N  ( 2nd `  y
) ) )
159150, 152, 158syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( y  ~Q  x  ->  -.  ( 2nd `  x
)  <N  ( 2nd `  y
) ) )
160149, 159syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  ~Q  y  ->  -.  ( 2nd `  x
)  <N  ( 2nd `  y
) ) )
161160imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  -.  ( 2nd `  x )  <N 
( 2nd `  y
) )
162 xp2nd 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  x )  e.  N. )
163150, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( 2nd `  x )  e. 
N. )
164163ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( 2nd `  x )  e.  N. )
165 xp2nd 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  y )  e.  N. )
166130, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( 2nd `  y )  e. 
N. )
167166ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( 2nd `  y )  e.  N. )
168 ltsopi 8512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <N  Or  N.
169 sotric 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
<N  Or  N.  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  N.  /\  ( 2nd `  y )  e.  N. ) )  ->  ( ( 2nd `  x )  <N  ( 2nd `  y )  <->  -.  (
( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  y )  \/  ( 2nd `  y )  <N 
( 2nd `  x
) ) ) )
170168, 169mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2nd `  x
)  e.  N.  /\  ( 2nd `  y )  e.  N. )  -> 
( ( 2nd `  x
)  <N  ( 2nd `  y
)  <->  -.  ( ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
)  \/  ( 2nd `  y )  <N  ( 2nd `  x ) ) ) )
171170notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2nd `  x
)  e.  N.  /\  ( 2nd `  y )  e.  N. )  -> 
( -.  ( 2nd `  x )  <N  ( 2nd `  y )  <->  -.  -.  (
( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  y )  \/  ( 2nd `  y )  <N 
( 2nd `  x
) ) ) )
172 notnot 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  y )  \/  ( 2nd `  y )  <N 
( 2nd `  x
) )  <->  -.  -.  (
( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  y )  \/  ( 2nd `  y )  <N 
( 2nd `  x
) ) )
173171, 172syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2nd `  x
)  e.  N.  /\  ( 2nd `  y )  e.  N. )  -> 
( -.  ( 2nd `  x )  <N  ( 2nd `  y )  <->  ( ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
)  \/  ( 2nd `  y )  <N  ( 2nd `  x ) ) ) )
174164, 167, 173syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( -.  ( 2nd `  x ) 
<N  ( 2nd `  y
)  <->  ( ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y )  \/  ( 2nd `  y
)  <N  ( 2nd `  x
) ) ) )
175161, 174mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
)  \/  ( 2nd `  y )  <N  ( 2nd `  x ) ) )
176175ord 366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( -.  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
)  ->  ( 2nd `  y )  <N  ( 2nd `  x ) ) )
177146, 176mt3d 117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y ) )
178177oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  x
) )  =  ( ( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) ) )
179129, 178syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( ( 2nd `  x )  .N  ( 1st `  x
) )  =  ( ( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) ) )
180 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  = 
<. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
181 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  ->  y  = 
<. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
182180, 181breqan12d 4038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
x  ~Q  y  <->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x )
>.  ~Q  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
)
183 xp1st 6149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  x )  e.  N. )
184183, 162jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( 1st `  x )  e.  N.  /\  ( 2nd `  x )  e. 
N. ) )
185 xp1st 6149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  y )  e.  N. )
186185, 165jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  N.  /\  ( 2nd `  y )  e. 
N. ) )
187 enqbreq 8543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1st `  x
)  e.  N.  /\  ( 2nd `  x )  e.  N. )  /\  ( ( 1st `  y
)  e.  N.  /\  ( 2nd `  y )  e.  N. ) )  ->  ( <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  ~Q  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>. 
<->  ( ( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) ) ) )
188184, 186, 187syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >.  ~Q  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. 
<->  ( ( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) ) ) )
189182, 188bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
x  ~Q  y  <->  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) ) ) )
190150, 130, 189syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  ~Q  y  <->  ( ( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) ) ) )
191190biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) ) )
192179, 191eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( ( 2nd `  x )  .N  ( 1st `  x
) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) ) )
193150ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  x  e.  ( N.  X.  N. )
)
194 mulcanpi 8524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  x
)  e.  N.  /\  ( 1st `  x )  e.  N. )  -> 
( ( ( 2nd `  x )  .N  ( 1st `  x ) )  =  ( ( 2nd `  x )  .N  ( 1st `  y ) )  <-> 
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y ) ) )
195162, 183, 194syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  x ) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) )  <->  ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y ) ) )
196193, 195syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( (
( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  x ) )  =  ( ( 2nd `  x
)  .N  ( 1st `  y ) )  <->  ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y ) ) )
197192, 196mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y ) )
198197, 177opeq12d 3804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x )
>.  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>. )
199193, 180syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
200130ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  y  e.  ( N.  X.  N. )
)
201200, 181syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
202198, 199, 2013eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  x  ~Q  y
)  ->  x  =  y )
203202ex 423 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  ~Q  y  ->  x  =  y ) )
204128, 203syl5 28 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a
)  ->  x  =  y ) )
205204rgen2a 2609 . . 3  |-  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( ( x  ~Q  a  /\  y  ~Q  a )  ->  x  =  y )
206124, 205vtoclg 2843 . 2  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( ( x  ~Q  A  /\  y  ~Q  A )  ->  x  =  y ) )
207 breq1 4026 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~Q  A  <->  y  ~Q  A ) )
208207reu4 2959 . 2  |-  ( E! x  e.  Q.  x  ~Q  A  <->  ( E. x  e.  Q.  x  ~Q  A  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
( x  ~Q  A  /\  y  ~Q  A )  ->  x  =  y ) ) )
209119, 206, 208sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E! x  e.  Q.  x  ~Q  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   <.cop 3643   class class class wbr 4023    Or wor 4313   Oncon0 4392   suc csuc 4394    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121    Er wer 6657   N.cnpi 8466    .N cmi 8468    <N clti 8469    ~Q ceq 8473   Q.cnq 8474
This theorem is referenced by:  nqerf  8554  enqeq  8558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-mi 8498  df-lti 8499  df-enq 8535  df-nq 8536
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