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Theorem nqerf 8838
Description: Corollary of nqereu 8837: the function  /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.

Proof of Theorem nqerf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-erq 8821 . . . . . . 7  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
2 inss2 3547 . . . . . . 7  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ( ( N.  X.  N. )  X. 
Q. )
31, 2eqsstri 3364 . . . . . 6  |-  /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
4 xpss 5011 . . . . . 6  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  ( _V  X.  _V )
53, 4sstri 3343 . . . . 5  |-  /Q  C_  ( _V  X.  _V )
6 df-rel 4914 . . . . 5  |-  ( Rel 
/Q 
<->  /Q  C_  ( _V  X.  _V ) )
75, 6mpbir 202 . . . 4  |-  Rel  /Q
8 nqereu 8837 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E! y  e.  Q.  y  ~Q  x )
9 df-reu 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  <->  E! y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
10 eumo 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x )  ->  E* y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )
119, 10sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
128, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
13 moanimv 2345 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
1412, 13mpbir 202 . . . . . 6  |-  E* y
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
153brel 4955 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. ) )
1615simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
1715simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  e.  Q. )
18 enqer 8829 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
20 inss1 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ~Q
211, 20eqsstri 3364 . . . . . . . . . 10  |-  /Q  C_  ~Q
2221ssbri 4279 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  x  ~Q  y )
2319, 22ersym 6946 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  ~Q  x )
2416, 17, 23jca32 523 . . . . . . 7  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
2524moimi 2334 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  ->  E* y  x /Q y )
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  E* y  x /Q y
2726ax-gen 1556 . . . 4  |-  A. x E* y  x /Q y
28 dffun6 5498 . . . 4  |-  ( Fun 
/Q 
<->  ( Rel  /Q  /\  A. x E* y  x /Q y ) )
297, 27, 28mpbir2an 888 . . 3  |-  Fun  /Q
30 dmss 5098 . . . . . 6  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  dom  /Q  C_  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
313, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  /Q  C_ 
dom  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
32 1nq 8836 . . . . . 6  |-  1Q  e.  Q.
33 ne0i 3619 . . . . . 6  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  Q.  =/=  (/) )
34 dmxp 5117 . . . . . 6  |-  ( Q.  =/=  (/)  ->  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
)
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . 5  |-  dom  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
3631, 35sseqtri 3366 . . . 4  |-  dom  /Q  C_  ( N.  X.  N. )
37 reurex 2928 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  y  ~Q  x
)
38 simpll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  e.  Q. )
4018a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. ) )
41 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  ~Q  x )
4240, 41ersym 6946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  ~Q  y )
431breqi 4243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x /Q y  <->  x (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) y )
44 brinxp2 4968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4543, 44bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x /Q y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4638, 39, 42, 45syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x /Q y )
4746ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  ->  (
y  ~Q  x  ->  x /Q y ) )
4847reximdva 2824 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E. y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  x /Q y
) )
49 rexex 2771 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  Q.  x /Q y  ->  E. y  x /Q y )
5037, 48, 49syl56 33 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  x /Q y ) )
518, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. y  x /Q y )
52 vex 2965 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5352eldm 5096 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  /Q  <->  E. y  x /Q y )
5451, 53sylibr 205 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  e. 
dom  /Q )
5554ssriv 3338 . . . 4  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  dom  /Q
5636, 55eqssi 3350 . . 3  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
57 df-fn 5486 . . 3  |-  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  <->  ( Fun  /Q  /\ 
dom  /Q  =  ( N.  X.  N. ) ) )
5829, 56, 57mpbir2an 888 . 2  |-  /Q  Fn  ( N.  X.  N. )
59 rnss 5127 . . . 4  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  ran  /Q  C_  ran  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
603, 59ax-mp 5 . . 3  |-  ran  /Q  C_ 
ran  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
61 rnxpss 5330 . . 3  |-  ran  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  Q.
6260, 61sstri 3343 . 2  |-  ran  /Q  C_ 
Q.
63 df-f 5487 . 2  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  <->  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  /\  ran  /Q  C_  Q. ) )
6458, 62, 63mpbir2an 888 1  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   E!weu 2287   E*wmo 2288    =/= wne 2605   E.wrex 2712   E!wreu 2713   _Vcvv 2962    i^i cin 3305    C_ wss 3306   (/)c0 3613   class class class wbr 4237    X. cxp 4905   dom cdm 4907   ran crn 4908   Rel wrel 4912   Fun wfun 5477    Fn wfn 5478   -->wf 5479    Er wer 6931   N.cnpi 8750    ~Q ceq 8757   Q.cnq 8758   1Qc1q 8759   /Qcerq 8760
This theorem is referenced by:  nqercl  8839  nqerrel  8840  nqerid  8841  addnqf  8856  mulnqf  8857  adderpq  8864  mulerpq  8865  lterpq  8878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-ni 8780  df-mi 8782  df-lti 8783  df-enq 8819  df-nq 8820  df-erq 8821  df-1nq 8824
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