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Theorem nqerf 8550
Description: Corollary of nqereu 8549: the function  /Q is actually a function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerf  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem nqerf
StepHypRef Expression
1 df-erq 8533 . . . . . . 7  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
2 inss2 3392 . . . . . . 7  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ( ( N.  X.  N. )  X. 
Q. )
31, 2eqsstri 3210 . . . . . 6  |-  /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
4 xpss 4793 . . . . . 6  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  ( _V  X.  _V )
53, 4sstri 3190 . . . . 5  |-  /Q  C_  ( _V  X.  _V )
6 df-rel 4696 . . . . 5  |-  ( Rel 
/Q 
<->  /Q  C_  ( _V  X.  _V ) )
75, 6mpbir 202 . . . 4  |-  Rel  /Q
8 nqereu 8549 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E! y  e.  Q.  y  ~Q  x )
9 df-reu 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  <->  E! y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
10 eumo 2185 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x )  ->  E* y ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )
119, 10sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
128, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y
( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
13 moanimv 2203 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E* y ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
1412, 13mpbir 202 . . . . . 6  |-  E* y
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) )
153brel 4737 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. ) )
1615simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  x  e.  ( N.  X.  N. ) )
1715simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  e.  Q. )
18 enqer 8541 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
1918a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
20 inss1 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)  C_  ~Q
211, 20eqsstri 3210 . . . . . . . . . 10  |-  /Q  C_  ~Q
2221ssbri 4067 . . . . . . . . 9  |-  ( x /Q y  ->  x  ~Q  y )
2319, 22ersym 6668 . . . . . . . 8  |-  ( x /Q y  ->  y  ~Q  x )
2416, 17, 23jca32 523 . . . . . . 7  |-  ( x /Q y  ->  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  ~Q  x ) ) )
2524moimi 2192 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  ~Q  x ) )  ->  E* y  x /Q y )
2614, 25ax-mp 10 . . . . 5  |-  E* y  x /Q y
2726ax-gen 1534 . . . 4  |-  A. x E* y  x /Q y
28 dffun6 5237 . . . 4  |-  ( Fun 
/Q 
<->  ( Rel  /Q  /\  A. x E* y  x /Q y ) )
297, 27, 28mpbir2an 888 . . 3  |-  Fun  /Q
30 dmss 4878 . . . . . 6  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  dom  /Q  C_  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
313, 30ax-mp 10 . . . . 5  |-  dom  /Q  C_ 
dom  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
32 1nq 8548 . . . . . 6  |-  1Q  e.  Q.
33 ne0i 3463 . . . . . 6  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  Q.  =/=  (/) )
34 dmxp 4897 . . . . . 6  |-  ( Q.  =/=  (/)  ->  dom  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
)
3532, 33, 34mp2b 11 . . . . 5  |-  dom  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  =  ( N.  X.  N. )
3631, 35sseqtri 3212 . . . 4  |-  dom  /Q  C_  ( N.  X.  N. )
37 reurex 2756 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  y  ~Q  x
)
38 simpll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  e.  Q. )
4018a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. ) )
41 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  y  ~Q  x )
4240, 41ersym 6668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x  ~Q  y )
431breqi 4031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x /Q y  <->  x (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) y )
44 brinxp2 4751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4543, 44bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x /Q y  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q.  /\  x  ~Q  y ) )
4638, 39, 42, 45syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  /\  y  ~Q  x
)  ->  x /Q y )
4746ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  Q. )  ->  (
y  ~Q  x  ->  x /Q y ) )
4847reximdva 2657 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E. y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  e.  Q.  x /Q y
) )
49 rexex 2604 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  Q.  x /Q y  ->  E. y  x /Q y )
5037, 48, 49syl56 32 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( E! y  e.  Q.  y  ~Q  x  ->  E. y  x /Q y ) )
518, 50mpd 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. y  x /Q y )
52 vex 2793 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5352eldm 4876 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  /Q  <->  E. y  x /Q y )
5451, 53sylibr 205 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  e. 
dom  /Q )
5554ssriv 3186 . . . 4  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  dom  /Q
5636, 55eqssi 3197 . . 3  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
57 df-fn 5225 . . 3  |-  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  <->  ( Fun  /Q  /\ 
dom  /Q  =  ( N.  X.  N. ) ) )
5829, 56, 57mpbir2an 888 . 2  |-  /Q  Fn  ( N.  X.  N. )
59 rnss 4907 . . . 4  |-  ( /Q  C_  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )  ->  ran  /Q  C_  ran  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. )
)
603, 59ax-mp 10 . . 3  |-  ran  /Q  C_ 
ran  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. )
61 rnxpss 5108 . . 3  |-  ran  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. )  C_  Q.
6260, 61sstri 3190 . 2  |-  ran  /Q  C_ 
Q.
63 df-f 5226 . 2  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  <->  ( /Q  Fn  ( N.  X.  N. )  /\  ran  /Q  C_  Q. ) )
6458, 62, 63mpbir2an 888 1  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936   A.wal 1528   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   E!weu 2145   E*wmo 2146    =/= wne 2448   E.wrex 2546   E!wreu 2547   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   class class class wbr 4025    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694   Fun wfun 5216    Fn wfn 5217   -->wf 5218    Er wer 6653   N.cnpi 8462    ~Q ceq 8469   Q.cnq 8470   1Qc1q 8471   /Qcerq 8472
This theorem is referenced by:  nqercl  8551  nqerrel  8552  nqerid  8553  addnqf  8568  mulnqf  8569  adderpq  8576  mulerpq  8577  lterpq  8590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-ni 8492  df-mi 8494  df-lti 8495  df-enq 8531  df-nq 8532  df-erq 8533  df-1nq 8536
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