MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Unicode version

Theorem nrgtrg 18302
Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 18285 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopGrp )
2 nrgrng 18276 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
3 eqid 2358 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
43rngmgp 15446 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
52, 4syl 15 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
6 tgptps 17865 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TopGrp  ->  R  e.  TopSp )
71, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopSp )
8 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
108, 9istps 16780 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
117, 10sylib 188 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( TopOpen `  R
)  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
) )
123, 8mgpbas 15430 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
133, 9mgptopn 15433 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (mulGrp `  R
) )
1412, 13istps 16780 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  TopSp  <->  ( TopOpen
`  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
1511, 14sylibr 203 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  TopSp )
16 rlmnlm 18301 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (ringLMod `  R )  e. NrmMod )
17 rlmsca2 16052 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
18 rlmscaf 16059 . . . . 5  |-  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( .s f `  (ringLMod `  R ) )
19 rlmtopn 16054 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (ringLMod `  R
) )
20 df-base 13250 . . . . . . . . 9  |-  Base  = Slot  1
2120, 8strfvi 13283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (  _I  `  R ) )
2221a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (  _I  `  R
) ) )
23 df-tset 13324 . . . . . . . . 9  |- TopSet  = Slot  9
24 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  R )
2523, 24strfvi 13283 . . . . . . . 8  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R
) )
2625a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R ) ) )
2722, 26topnpropd 13440 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( TopOpen `  R )  =  ( TopOpen `  (  _I  `  R ) ) )
2827trud 1323 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (  _I  `  R ) )
2917, 18, 19, 28nlmvscn 18300 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e. NrmMod  ->  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen
`  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R
) ) )
3016, 29syl 15 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( + f `  (mulGrp `  R )
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen `  R )
)  Cn  ( TopOpen `  R ) ) )
31 eqid 2358 . . . 4  |-  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( + f `  (mulGrp `  R ) )
3231, 13istmd 17859 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )  e. TopMnd  <->  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  R )  e.  TopSp  /\  ( + f `  (mulGrp `  R
) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R
)  tX  ( TopOpen `  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R )
) ) )
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
343istrg 17948 . 2  |-  ( R  e.  TopRing 
<->  ( R  e.  TopGrp  /\  R  e.  Ring  /\  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
)
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1136 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710    _I cid 4386   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1c1 8828   9c9 9892   Basecbs 13245  TopSetcts 13311   TopOpenctopn 13425   Mndcmnd 14460   + fcplusf 14463  mulGrpcmgp 15424   Ringcrg 15436  ringLModcrglmod 16021  TopOnctopon 16738   TopSpctps 16740    Cn ccn 17060    tX ctx 17361  TopMndctmd 17855   TopGrpctgp 17856   TopRingctrg 17940  NrmRingcnrg 18204  NrmModcnlm 18205
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  18305  nlmtlm  18306  iistmd  23456  qqhcn  23648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-plusf 14467  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-mulg 14591  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-subrg 15642  df-abv 15681  df-lmod 15728  df-scaf 15729  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-tmd 17857  df-tgp 17858  df-trg 17944  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-nm 18207  df-ngp 18208  df-nrg 18210  df-nlm 18211
  Copyright terms: Public domain W3C validator