MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Unicode version

Theorem nrgtrg 18678
Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 18661 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopGrp )
2 nrgrng 18652 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
43rngmgp 15625 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
6 tgptps 18063 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TopGrp  ->  R  e.  TopSp )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopSp )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
108, 9istps 16956 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
117, 10sylib 189 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( TopOpen `  R
)  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
) )
123, 8mgpbas 15609 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
133, 9mgptopn 15612 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (mulGrp `  R
) )
1412, 13istps 16956 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  TopSp  <->  ( TopOpen
`  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
1511, 14sylibr 204 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  TopSp )
16 rlmnlm 18677 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (ringLMod `  R )  e. NrmMod )
17 rlmsca2 16227 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
18 rlmscaf 16234 . . . . 5  |-  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( .s f `  (ringLMod `  R ) )
19 rlmtopn 16229 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (ringLMod `  R
) )
20 df-base 13429 . . . . . . . . 9  |-  Base  = Slot  1
2120, 8strfvi 13462 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (  _I  `  R ) )
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (  _I  `  R
) ) )
23 df-tset 13503 . . . . . . . . 9  |- TopSet  = Slot  9
24 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  R )
2523, 24strfvi 13462 . . . . . . . 8  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R
) )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R ) ) )
2722, 26topnpropd 13619 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( TopOpen `  R )  =  ( TopOpen `  (  _I  `  R ) ) )
2827trud 1329 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (  _I  `  R ) )
2917, 18, 19, 28nlmvscn 18676 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e. NrmMod  ->  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen
`  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R
) ) )
3016, 29syl 16 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( + f `  (mulGrp `  R )
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen `  R )
)  Cn  ( TopOpen `  R ) ) )
31 eqid 2404 . . . 4  |-  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( + f `  (mulGrp `  R ) )
3231, 13istmd 18057 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )  e. TopMnd  <->  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  R )  e.  TopSp  /\  ( + f `  (mulGrp `  R
) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R
)  tX  ( TopOpen `  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R )
) ) )
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
343istrg 18146 . 2  |-  ( R  e.  TopRing 
<->  ( R  e.  TopGrp  /\  R  e.  Ring  /\  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
)
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1138 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    _I cid 4453   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947   9c9 10012   Basecbs 13424  TopSetcts 13490   TopOpenctopn 13604   Mndcmnd 14639   + fcplusf 14642  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615  ringLModcrglmod 16196  TopOnctopon 16914   TopSpctps 16916    Cn ccn 17242    tX ctx 17545  TopMndctmd 18053   TopGrpctgp 18054   TopRingctrg 18138  NrmRingcnrg 18580  NrmModcnlm 18581
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  18681  nlmtlm  18682  iistmd  24253  qqhcn  24328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-trg 18142  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587
  Copyright terms: Public domain W3C validator