MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Unicode version

Theorem nthruc 12525
Description: The sequence  NN,  ZZ,  QQ,  RR, and  CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to  ZZ but not  NN, one-half belongs to  QQ but not  ZZ, the square root of 2 belongs to  RR but not  QQ, and finally that the imaginary number  _i belongs to  CC but not  RR. See nthruz 12526 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 10039 . . . 4  |-  NN  C_  ZZ
2 0z 10031 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 0nnn 9773 . . . . 5  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3518 . . . 4  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  ZZ ) )
61, 4, 5mp2 17 . . 3  |-  NN  C.  ZZ
7 zssq 10319 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
8 1z 10049 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 2nn 9873 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 znq 10316 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  /  2
)  e.  QQ )
118, 9, 10mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  QQ
12 halfnz 10086 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
1311, 12pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )
14 ssnelpss 3518 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  QQ  ->  ( (
( 1  /  2
)  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ZZ  C.  QQ ) )
157, 13, 14mp2 17 . . 3  |-  ZZ  C.  QQ
166, 15pm3.2i 441 . 2  |-  ( NN 
C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )
17 qssre 10322 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
18 sqr2re 12524 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
19 sqr2irr 12523 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
20 df-nel 2450 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  2 )  e/  QQ  <->  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
2119, 20mpbi 199 . . . . 5  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
2218, 21pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
23 ssnelpss 3518 . . . 4  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2
)  e.  QQ )  ->  QQ  C.  RR ) )
2417, 22, 23mp2 17 . . 3  |-  QQ  C.  RR
25 ax-resscn 8790 . . . 4  |-  RR  C_  CC
26 ax-icn 8792 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
27 inelr 9732 . . . . 5  |-  -.  _i  e.  RR
2826, 27pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )
29 ssnelpss 3518 . . . 4  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
_i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )  ->  RR  C.  CC ) )
3025, 28, 29mp2 17 . . 3  |-  RR  C.  CC
3124, 30pm3.2i 441 . 2  |-  ( QQ 
C.  RR  /\  RR  C.  CC )
3216, 31pm3.2i 441 1  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    e. wcel 1685    e/ wnel 2448    C_ wss 3153    C. wpss 3154   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734   _ici 8735    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   ZZcz 10020   QQcq 10312   sqrcsqr 11714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717
  Copyright terms: Public domain W3C validator