MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Unicode version

Theorem nthruc 12456
Description: The sequence  NN,  ZZ,  QQ,  RR, and  CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to  ZZ but not  NN, one-half belongs to  QQ but not  ZZ, the square root of 2 belongs to  RR but not  QQ, and finally that the imaginary number  _i belongs to  CC but not  RR. See nthruz 12457 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 9975 . . . 4  |-  NN  C_  ZZ
2 0z 9967 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 0nnn 9710 . . . . 5  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3459 . . . 4  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  ZZ ) )
61, 4, 5mp2 19 . . 3  |-  NN  C.  ZZ
7 zssq 10255 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
8 1z 9985 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 2nn 9809 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 znq 10252 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  /  2
)  e.  QQ )
118, 9, 10mp2an 656 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  QQ
12 halfnz 10022 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
1311, 12pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )
14 ssnelpss 3459 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  QQ  ->  ( (
( 1  /  2
)  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ZZ  C.  QQ ) )
157, 13, 14mp2 19 . . 3  |-  ZZ  C.  QQ
166, 15pm3.2i 443 . 2  |-  ( NN 
C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )
17 qssre 10258 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
18 sqr2re 12455 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
19 sqr2irr 12454 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
20 df-nel 2422 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  2 )  e/  QQ  <->  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
2119, 20mpbi 201 . . . . 5  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
2218, 21pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
23 ssnelpss 3459 . . . 4  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2
)  e.  QQ )  ->  QQ  C.  RR ) )
2417, 22, 23mp2 19 . . 3  |-  QQ  C.  RR
25 ax-resscn 8727 . . . 4  |-  RR  C_  CC
26 ax-icn 8729 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
27 inelr 9669 . . . . 5  |-  -.  _i  e.  RR
2826, 27pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )
29 ssnelpss 3459 . . . 4  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
_i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )  ->  RR  C.  CC ) )
3025, 28, 29mp2 19 . . 3  |-  RR  C.  CC
3124, 30pm3.2i 443 . 2  |-  ( QQ 
C.  RR  /\  RR  C.  CC )
3216, 31pm3.2i 443 1  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    /\ wa 360    e. wcel 1621    e/ wnel 2420    C_ wss 3094    C. wpss 3095   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671   _ici 8672    / cdiv 9356   NNcn 9679   2c2 9728   ZZcz 9956   QQcq 10248   sqrcsqr 11648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651
  Copyright terms: Public domain W3C validator