Theorem nthruc 6684

Description: The sequence NN, ZZ, QQ, RR, and CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ZZ but not NN, one-half belongs to QQ but not ZZ, the square root of 2 belongs to RR but not QQ, and finally that the imaginary number i belongs to CC but not RR. See nthruz 6685 for a further refinement.

Assertion

Ref	Expression
nthruc	|- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 6106	. . . 4 |- NN (_ ZZ
2		0z 6101	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		0nnn 5904	. . . . 5 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 285	. . . 4 |- (0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN)
5		ssnelpss 2326	. . . 4 |- (NN (_ ZZ -> ((0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN) -> NN (. ZZ))
6	1, 4, 5	mp2 43	. . 3 |- NN (. ZZ
7		zssq 6207	. . . 4 |- ZZ (_ QQ
8		1z 6114	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		2nn 5954	. . . . . 6 |- 2 e. NN
10		znq 6204	. . . . . 6 |- ((1 e. ZZ /\ 2 e. NN) -> (1 / 2) e. QQ)
11	8, 9, 10	mp2an 696	. . . . 5 |- (1 / 2) e. QQ
12		halfnz 6149	. . . . 5 |- -. (1 / 2) e. ZZ
13	11, 12	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ)
14		ssnelpss 2326	. . . 4 |- (ZZ (_ QQ -> (((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ) -> ZZ (. QQ))
15	7, 13, 14	mp2 43	. . 3 |- ZZ (. QQ
16	6, 15	pm3.2i 285	. 2 |- (NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ)
17		qssre 6210	. . . 4 |- QQ (_ RR
18		sqr2re 6668	. . . . 5 |- (sqr` 2) e. RR
19		sqr2irr 6667	. . . . . 6 |- (sqr` 2) e/ QQ
20		df-nel 1585	. . . . . 6 |- ((sqr` 2) e/ QQ <-> -. (sqr` 2) e. QQ)
21	19, 20	mpbi 189	. . . . 5 |- -. (sqr` 2) e. QQ
22	18, 21	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ)
23		ssnelpss 2326	. . . 4 |- (QQ (_ RR -> (((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ) -> QQ (. RR))
24	17, 22, 23	mp2 43	. . 3 |- QQ (. RR
25		axresscn 5248	. . . 4 |- RR (_ CC
26		axicn 5250	. . . . 5 |- i e. CC
27		inelr 6673	. . . . 5 |- -. i e. RR
28	26, 27	pm3.2i 285	. . . 4 |- (i e. CC /\ -. i e. RR)
29		ssnelpss 2326	. . . 4 |- (RR (_ CC -> ((i e. CC /\ -. i e. RR) -> RR (. CC))
30	25, 28, 29	mp2 43	. . 3 |- RR (. CC
31	24, 30	pm3.2i 285	. 2 |- (QQ (. RR /\ RR (. CC)
32	16, 31	pm3.2i 285	1 |- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   e. wcel 956   e/ wnel 1583   (_ wss 2043   (. wpss 2044  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215  ici 5216   / cdiv 5274  NNcn 5276  ZZcz 5278  QQcq 5279  2c2 5916  sqrcsqr 6607

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-q 6202  df-seq1 6253  df-uz 6358  df-exp 6509  df-sqr 6608

Copyright terms: Public domain