MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Unicode version

Theorem nthruc 12531
Description: The sequence  NN,  ZZ,  QQ,  RR, and  CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to  ZZ but not  NN, one-half belongs to  QQ but not  ZZ, the square root of 2 belongs to  RR but not  QQ, and finally that the imaginary number  _i belongs to  CC but not  RR. See nthruz 12532 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 10045 . . . 4  |-  NN  C_  ZZ
2 0z 10037 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 0nnn 9779 . . . . 5  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3519 . . . 4  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  ZZ ) )
61, 4, 5mp2 17 . . 3  |-  NN  C.  ZZ
7 zssq 10325 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
8 1z 10055 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 2nn 9879 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 znq 10322 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  /  2
)  e.  QQ )
118, 9, 10mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  QQ
12 halfnz 10092 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
1311, 12pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )
14 ssnelpss 3519 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  QQ  ->  ( (
( 1  /  2
)  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ZZ  C.  QQ ) )
157, 13, 14mp2 17 . . 3  |-  ZZ  C.  QQ
166, 15pm3.2i 441 . 2  |-  ( NN 
C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )
17 qssre 10328 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
18 sqr2re 12530 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
19 sqr2irr 12529 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
20 df-nel 2451 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  2 )  e/  QQ  <->  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
2119, 20mpbi 199 . . . . 5  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
2218, 21pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
23 ssnelpss 3519 . . . 4  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2
)  e.  QQ )  ->  QQ  C.  RR ) )
2417, 22, 23mp2 17 . . 3  |-  QQ  C.  RR
25 ax-resscn 8796 . . . 4  |-  RR  C_  CC
26 ax-icn 8798 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
27 inelr 9738 . . . . 5  |-  -.  _i  e.  RR
2826, 27pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )
29 ssnelpss 3519 . . . 4  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
_i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )  ->  RR  C.  CC ) )
3025, 28, 29mp2 17 . . 3  |-  RR  C.  CC
3124, 30pm3.2i 441 . 2  |-  ( QQ 
C.  RR  /\  RR  C.  CC )
3216, 31pm3.2i 441 1  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    e. wcel 1686    e/ wnel 2449    C_ wss 3154    C. wpss 3155   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740   _ici 8741    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   ZZcz 10026   QQcq 10318   sqrcsqr 11720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723
  Copyright terms: Public domain W3C validator