Theorem nthruc 6946

Description: The sequence NN, ZZ, QQ, RR, and CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ZZ but not NN, one-half belongs to QQ but not ZZ, the square root of 2 belongs to RR but not QQ, and finally that the imaginary number i belongs to CC but not RR. See nthruz 6947 for a further refinement.

Assertion

Ref	Expression
nthruc	|- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 6319	. . . 4 |- NN (_ ZZ
2		0z 6314	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		0nnn 6093	. . . . 5 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 283	. . . 4 |- (0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN)
5		ssnelpss 2383	. . . 4 |- (NN (_ ZZ -> ((0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN) -> NN (. ZZ))
6	1, 4, 5	mp2 43	. . 3 |- NN (. ZZ
7		zssq 6400	. . . 4 |- ZZ (_ QQ
8		1z 6327	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		2nn 6145	. . . . . 6 |- 2 e. NN
10		znq 6397	. . . . . 6 |- ((1 e. ZZ /\ 2 e. NN) -> (1 / 2) e. QQ)
11	8, 9, 10	mp2an 701	. . . . 5 |- (1 / 2) e. QQ
12		halfnz 6365	. . . . 5 |- -. (1 / 2) e. ZZ
13	11, 12	pm3.2i 283	. . . 4 |- ((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ)
14		ssnelpss 2383	. . . 4 |- (ZZ (_ QQ -> (((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ) -> ZZ (. QQ))
15	7, 13, 14	mp2 43	. . 3 |- ZZ (. QQ
16	6, 15	pm3.2i 283	. 2 |- (NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ)
17		qssre 6403	. . . 4 |- QQ (_ RR
18		sqr2re 6931	. . . . 5 |- (sqr` 2) e. RR
19		sqr2irr 6930	. . . . . 6 |- (sqr` 2) e/ QQ
20		df-nel 1631	. . . . . 6 |- ((sqr` 2) e/ QQ <-> -. (sqr` 2) e. QQ)
21	19, 20	mpbi 187	. . . . 5 |- -. (sqr` 2) e. QQ
22	18, 21	pm3.2i 283	. . . 4 |- ((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ)
23		ssnelpss 2383	. . . 4 |- (QQ (_ RR -> (((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ) -> QQ (. RR))
24	17, 22, 23	mp2 43	. . 3 |- QQ (. RR
25		axresscn 5422	. . . 4 |- RR (_ CC
26		axicn 5424	. . . . 5 |- i e. CC
27		inelr 6936	. . . . 5 |- -. i e. RR
28	26, 27	pm3.2i 283	. . . 4 |- (i e. CC /\ -. i e. RR)
29		ssnelpss 2383	. . . 4 |- (RR (_ CC -> ((i e. CC /\ -. i e. RR) -> RR (. CC))
30	25, 28, 29	mp2 43	. . 3 |- RR (. CC
31	24, 30	pm3.2i 283	. 2 |- (QQ (. RR /\ RR (. CC)
32	16, 31	pm3.2i 283	1 |- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 221   e. wcel 994   e/ wnel 1629   (_ wss 2099   (. wpss 2100  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389  ici 5390   / cdiv 5448  NNcn 5450  ZZcz 5452  QQcq 5453  2c2 6107  sqrcsqr 6870

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-q 6395  df-uz 6545  df-seq1 6673  df-exp 6764  df-sqr 6871

Copyright terms: Public domain