MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Unicode version

Theorem nthruc 12777
Description: The sequence  NN,  ZZ,  QQ,  RR, and  CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to  ZZ but not  NN, one-half belongs to  QQ but not  ZZ, the square root of 2 belongs to  RR but not  QQ, and finally that the imaginary number  _i belongs to  CC but not  RR. See nthruz 12778 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 10233 . . . 4  |-  NN  C_  ZZ
2 0z 10225 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 0nnn 9963 . . . . 5  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3634 . . . 4  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  ZZ ) )
61, 4, 5mp2 9 . . 3  |-  NN  C.  ZZ
7 zssq 10513 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
8 1z 10243 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 2nn 10065 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 znq 10510 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  /  2
)  e.  QQ )
118, 9, 10mp2an 654 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  QQ
12 halfnz 10280 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
1311, 12pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )
14 ssnelpss 3634 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  QQ  ->  ( (
( 1  /  2
)  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ZZ  C.  QQ ) )
157, 13, 14mp2 9 . . 3  |-  ZZ  C.  QQ
166, 15pm3.2i 442 . 2  |-  ( NN 
C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )
17 qssre 10516 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
18 sqr2re 12776 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
19 sqr2irr 12775 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
20 df-nel 2553 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  2 )  e/  QQ  <->  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
2119, 20mpbi 200 . . . . 5  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
2218, 21pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
23 ssnelpss 3634 . . . 4  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2
)  e.  QQ )  ->  QQ  C.  RR ) )
2417, 22, 23mp2 9 . . 3  |-  QQ  C.  RR
25 ax-resscn 8980 . . . 4  |-  RR  C_  CC
26 ax-icn 8982 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
27 inelr 9922 . . . . 5  |-  -.  _i  e.  RR
2826, 27pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )
29 ssnelpss 3634 . . . 4  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
_i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )  ->  RR  C.  CC ) )
3025, 28, 29mp2 9 . . 3  |-  RR  C.  CC
3124, 30pm3.2i 442 . 2  |-  ( QQ 
C.  RR  /\  RR  C.  CC )
3216, 31pm3.2i 442 1  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    e. wcel 1717    e/ wnel 2551    C_ wss 3263    C. wpss 3264   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924   _ici 8925    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   ZZcz 10214   QQcq 10506   sqrcsqr 11965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968
  Copyright terms: Public domain W3C validator