MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruz Unicode version

Theorem nthruz 12546
Description: The sequence  NN,  NN0, and  ZZ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to 
NN0 but not  NN and minus one belongs to  ZZ but not  NN0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 12545. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nthruz  |-  ( NN 
C.  NN0  /\  NN0  C.  ZZ )

Proof of Theorem nthruz
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 9984 . . 3  |-  NN  C_  NN0
2 0nn0 9996 . . . 4  |-  0  e.  NN0
3 0nnn 9793 . . . 4  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 441 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3530 . . 3  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( (
0  e.  NN0  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  NN0 ) )
61, 4, 5mp2 17 . 2  |-  NN  C.  NN0
7 nn0ssz 10060 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
8 1nn 9773 . . . . 5  |-  1  e.  NN
9 nnnegz 10043 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  -u 1  e.  ZZ )
108, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
11 neg0 9109 . . . . . . 7  |-  -u 0  =  0
12 0lt1 9312 . . . . . . 7  |-  0  <  1
1311, 12eqbrtri 4058 . . . . . 6  |-  -u 0  <  1
14 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
15 0re 8854 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1614, 15ltnegcon1i 9340 . . . . . 6  |-  ( -u
1  <  0  <->  -u 0  <  1 )
1713, 16mpbir 200 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
18 nn0nlt0 10008 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  NN0  ->  -.  -u 1  <  0
)
1917, 18mt2 170 . . . 4  |-  -.  -u 1  e.  NN0
2010, 19pm3.2i 441 . . 3  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  -.  -u 1  e.  NN0 )
21 ssnelpss 3530 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( ( -u 1  e.  ZZ  /\  -.  -u 1  e.  NN0 )  ->  NN0  C.  ZZ ) )
227, 20, 21mp2 17 . 2  |-  NN0  C.  ZZ
236, 22pm3.2i 441 1  |-  ( NN 
C.  NN0  /\  NN0  C.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165    C. wpss 3166   class class class wbr 4039   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883   -ucneg 9054   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041
  Copyright terms: Public domain W3C validator