MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruz Structured version   Unicode version

Theorem nthruz 12851
Description: The sequence  NN,  NN0, and  ZZ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to 
NN0 but not  NN and minus one belongs to  ZZ but not  NN0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 12850. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nthruz  |-  ( NN 
C.  NN0  /\  NN0  C.  ZZ )

Proof of Theorem nthruz
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 10224 . . 3  |-  NN  C_  NN0
2 0nn0 10236 . . . 4  |-  0  e.  NN0
3 0nnn 10031 . . . 4  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 442 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3691 . . 3  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( (
0  e.  NN0  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  NN0 ) )
61, 4, 5mp2 9 . 2  |-  NN  C.  NN0
7 nn0ssz 10302 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
8 1nn 10011 . . . . 5  |-  1  e.  NN
9 nnnegz 10285 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  -u 1  e.  ZZ )
108, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
11 neg0 9347 . . . . . . 7  |-  -u 0  =  0
12 0lt1 9550 . . . . . . 7  |-  0  <  1
1311, 12eqbrtri 4231 . . . . . 6  |-  -u 0  <  1
14 1re 9090 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
15 0re 9091 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1614, 15ltnegcon1i 9578 . . . . . 6  |-  ( -u
1  <  0  <->  -u 0  <  1 )
1713, 16mpbir 201 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
18 nn0nlt0 10248 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  NN0  ->  -.  -u 1  <  0
)
1917, 18mt2 172 . . . 4  |-  -.  -u 1  e.  NN0
2010, 19pm3.2i 442 . . 3  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  -.  -u 1  e.  NN0 )
21 ssnelpss 3691 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( ( -u 1  e.  ZZ  /\  -.  -u 1  e.  NN0 )  ->  NN0  C.  ZZ ) )
227, 20, 21mp2 9 . 2  |-  NN0  C.  ZZ
236, 22pm3.2i 442 1  |-  ( NN 
C.  NN0  /\  NN0  C.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320    C. wpss 3321   class class class wbr 4212   0cc0 8990   1c1 8991    < clt 9120   -ucneg 9292   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283
  Copyright terms: Public domain W3C validator