Theorem ntreq0 7650

Description: Two ways to say that a subset has an empty interior.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
ntreq0	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((int` J)` S) = (/) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/))))

Distinct variable groups:   x,J   x,S   x,X

Proof of Theorem ntreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	ntrval 7618	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) = U.{x e. J | x (_ S})
3	2	eqeq1d 1475	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((int` J)` S) = (/) <-> U.{x e. J | x (_ S} = (/)))
4		elunirab 2504	. . . . . . 7 |- (y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> E.x e. J (y e. x /\ x (_ S))
5	4	negbii 187	. . . . . 6 |- (-. y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> -. E.x e. J (y e. x /\ x (_ S))
6		noel 2274	. . . . . . 7 |- -. y e. (/)
7		bibif 679	. . . . . . 7 |- (-. y e. (/) -> ((y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> -. y e. U.{x e. J | x (_ S}))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> -. y e. U.{x e. J | x (_ S})
9		ralnex 1645	. . . . . 6 |- (A.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S) <-> -. E.x e. J (y e. x /\ x (_ S))
10	5, 8, 9	3bitr4 183	. . . . 5 |- ((y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> A.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S))
11	10	albii 996	. . . 4 |- (A.y(y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> A.yA.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S))
12		dfcleq 1463	. . . 4 |- (U.{x e. J | x (_ S} = (/) <-> A.y(y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)))
13		ralcom4 1814	. . . 4 |- (A.x e. J A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> A.yA.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S))
14	11, 12, 13	3bitr4 183	. . 3 |- (U.{x e. J | x (_ S} = (/) <-> A.x e. J A.y -. (y e. x /\ x (_ S))
15		n0 2279	. . . . . . 7 |- (-. x = (/) <-> E.y y e. x)
16	15	imbi1i 186	. . . . . 6 |- ((-. x = (/) -> -. x (_ S) <-> (E.y y e. x -> -. x (_ S))
17		19.23v 1288	. . . . . 6 |- (A.y(y e. x -> -. x (_ S) <-> (E.y y e. x -> -. x (_ S))
18		imnan 242	. . . . . . 7 |- ((y e. x -> -. x (_ S) <-> -. (y e. x /\ x (_ S))
19	18	albii 996	. . . . . 6 |- (A.y(y e. x -> -. x (_ S) <-> A.y -. (y e. x /\ x (_ S))
20	16, 17, 19	3bitr2r 180	. . . . 5 |- (A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> (-. x = (/) -> -. x (_ S))
21		pm4.1 164	. . . . 5 |- ((x (_ S -> x = (/)) <-> (-. x = (/) -> -. x (_ S))
22	20, 21	bitr4 176	. . . 4 |- (A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> (x (_ S -> x = (/)))
23	22	ralbii 1659	. . 3 |- (A.x e. J A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/)))
24	14, 23	bitr 173	. 2 |- (U.{x e. J | x (_ S} = (/) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/)))
25	3, 24	syl6bb 534	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((int` J)` S) = (/) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270  U.cuni 2493  ` cfv 3172  Topctop 7530  intcnt 7603

This theorem is referenced by:  bcthlem7 7939

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-ntr 7606

Copyright terms: Public domain