Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrval Unicode version

Theorem ntrval 16775
 Description: The interior of a subset of a topology's base set is the union of all the open sets it includes. Definition of interior of [Munkres] p. 94. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1
Assertion
Ref Expression
ntrval

Proof of Theorem ntrval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscld.1 . . . . 5
21ntrfval 16763 . . . 4
32fveq1d 5529 . . 3
51topopn 16654 . . . . 5
6 elpw2g 4176 . . . . 5
75, 6syl 15 . . . 4
87biimpar 471 . . 3
9 inex1g 4159 . . . . 5
109adantr 451 . . . 4
11 uniexg 4519 . . . 4
1210, 11syl 15 . . 3
13 pweq 3630 . . . . . 6
1413ineq2d 3372 . . . . 5
1514unieqd 3840 . . . 4
16 eqid 2285 . . . 4
1715, 16fvmptg 5602 . . 3
188, 12, 17syl2anc 642 . 2
194, 18eqtrd 2317 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1625   wcel 1686  cvv 2790   cin 3153   wss 3154  cpw 3627  cuni 3829   cmpt 4079  cfv 5257  ctop 16633  cnt 16756 This theorem is referenced by:  ntropn  16788  clsval2  16789  ntrss2  16796  ssntr  16797  isopn3  16805  ntreq0  16816 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-top 16638  df-ntr 16759
 Copyright terms: Public domain W3C validator