Theorem ntunte 10340

Description: The intersection of a union U.A with a set B is equal to the union of the intersections of each element of A with B.

Assertion

Ref	Expression
ntunte	|- (U.A i^i B) = U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)}

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem ntunte

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 2497	. . . . 5 |- (z e. U.A <-> E.y e. A z e. y)
2	1	anbi1i 480	. . . 4 |- ((z e. U.A /\ z e. B) <-> (E.y e. A z e. y /\ z e. B))
3		elin 2197	. . . 4 |- (z e. (U.A i^i B) <-> (z e. U.A /\ z e. B))
4		ancom 435	. . . . . . . 8 |- ((z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> (E.y e. A x = (y i^i B) /\ z e. x))
5		r19.41v 1755	. . . . . . . 8 |- (E.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> (E.y e. A x = (y i^i B) /\ z e. x))
6	4, 5	bitr4 176	. . . . . . 7 |- ((z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> E.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x))
7	6	exbii 1047	. . . . . 6 |- (E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> E.xE.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x))
8		rexcom4 1815	. . . . . 6 |- (E.y e. A E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> E.xE.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x))
9	7, 8	bitr4 176	. . . . 5 |- (E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> E.y e. A E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x))
10		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- y e. V
11	10	inex1 2706	. . . . . . . 8 |- (y i^i B) e. V
12		eleq2 1527	. . . . . . . 8 |- (x = (y i^i B) -> (z e. x <-> z e. (y i^i B)))
13	11, 12	ceqsexv 1826	. . . . . . 7 |- (E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> z e. (y i^i B))
14		elin 2197	. . . . . . 7 |- (z e. (y i^i B) <-> (z e. y /\ z e. B))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . 6 |- (E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> (z e. y /\ z e. B))
16	15	rexbii 1660	. . . . 5 |- (E.y e. A E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> E.y e. A (z e. y /\ z e. B))
17		r19.41v 1755	. . . . 5 |- (E.y e. A (z e. y /\ z e. B) <-> (E.y e. A z e. y /\ z e. B))
18	9, 16, 17	3bitr 177	. . . 4 |- (E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> (E.y e. A z e. y /\ z e. B))
19	2, 3, 18	3bitr4 183	. . 3 |- (z e. (U.A i^i B) <-> E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)))
20		eluniab 2503	. . 3 |- (z e. U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)} <-> E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)))
21	19, 20	bitr4 176	. 2 |- (z e. (U.A i^i B) <-> z e. U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)})
22	21	eqriv 1467	1 |- (U.A i^i B) = U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456  E.wrex 1638   i^i cin 2036  U.cuni 2493

This theorem is referenced by:  stoi 10483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-rex 1642  df-v 1803  df-in 2041  df-uni 2494

Copyright terms: Public domain