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Theorem nulmbl2 19419
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol * ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10605 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3626 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
4 r19.2z 3709 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )
)
53, 4mpan 652 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )
6 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
7 mblss 19415 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
96, 8sstrd 3350 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
109rexlimiva 2817 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
1110rexlimivw 2818 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
125, 11syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
13 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
15 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
18 ovolsscl 19370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
20 difssd 3467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
21 ovolsscl 19370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2220, 16, 17, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2319, 22readdcld 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2517ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  e.  RR )
26 difssd 3467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
278adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
28 rpre 10607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2928ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
30 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  <_  x
)
31 ovollecl 19367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol
* `  y )  <_  x )  ->  ( vol * `  y )  e.  RR )
3227, 29, 30, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  e.  RR )
33 ovolsscl 19370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol * `  y )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3525, 34readdcld 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3625, 29readdcld 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  x
)  e.  RR )
3719ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
3822ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
39 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4116ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
42 ovolsscl 19370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4340, 41, 25, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
44 difssd 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
45 ovolsscl 19370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4644, 41, 25, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4746, 34readdcld 9104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
48 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
49 sslin 3559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5139, 41syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
52 ovolss 19369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y
) ) )
5350, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y ) ) )
5441ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5527ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5654, 55unssd 3515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
57 ovolun 19383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) ) )
5854, 46, 55, 34, 57syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
59 ovollecl 19367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
6056, 47, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
61 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
62 undif1 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6361, 62sseqtr4i 3373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
64 ssdif 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
66 difundir 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
6765, 66sseqtri 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
68 difun1 3593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
69 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
7048, 69sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7170difeq2d 3457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7268, 71syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7372uneq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7467, 73syl5sseq 3388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
75 ovolss 19369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7674, 56, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7738, 60, 47, 76, 58letrd 9216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
7837, 38, 43, 47, 53, 77le2addd 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
79 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
80 mblsplit 19416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8179, 41, 25, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8281oveq1d 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
8343recnd 9103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8446recnd 9103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8534recnd 9103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8683, 84, 85addassd 9099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol * `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
8782, 86eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
8878, 87breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
89 difss 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
\  A )  C_  y
90 ovolss 19369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9189, 27, 90sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9234, 32, 29, 91, 30letrd 9216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9334, 29, 25, 92leadd2dd 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9424, 35, 36, 88, 93letrd 9216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9594rexlimdvaa 2823 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
9695ralimdva 2776 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
9796impcom 420 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) )
9823adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
9998rexrd 9123 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
100 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
101 xralrple 10780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol * `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
10299, 100, 101syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
10397, 102mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) )
104103expr 599 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
105104ralrimiva 2781 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
106 ismbl2 19411 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
10712, 105, 106sylanbrc 646 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204   dom cdm 4869   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   1c1 8980    + caddc 8982   RR*cxr 9108    <_ cle 9110   RR+crp 10601   vol *covol 19347   volcvol 19348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-ovol 19349  df-vol 19350
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