Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nulmbl2 Unicode version

Theorem nulmbl2 18910
 Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has while "outer measure zero" means that for any there is a containing with volume less than . Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10374 . . . . 5
2 ne0i 3474 . . . . 5
31, 2ax-mp 8 . . . 4
4 r19.2z 3556 . . . 4
53, 4mpan 651 . . 3
6 simprl 732 . . . . . 6
7 mblss 18906 . . . . . . 7
87adantr 451 . . . . . 6
96, 8sstrd 3202 . . . . 5
109rexlimiva 2675 . . . 4
1110rexlimivw 2676 . . 3
125, 11syl 15 . 2
13 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . 14
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
15 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . 14
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
18 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . . . 13
1914, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
20 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
22 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 16, 17, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
2419, 23readdcld 8878 . . . . . . . . . . 11
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
2617ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
27 difss 3316 . . . . . . . . . . . . 13
2827a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
298adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
30 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . 14
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13
32 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13
33 ovollecl 18858 . . . . . . . . . . . . 13
3429, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
35 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . . 12
3628, 29, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
3726, 36readdcld 8878 . . . . . . . . . 10
3826, 31readdcld 8878 . . . . . . . . . 10
3919ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
4023ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
41 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . 14
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
4316ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
44 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 43, 26, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
46 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
48 ovolsscl 18861 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 43, 26, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
5049, 36readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12
51 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . 14
52 sslin 3408 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
5441, 43syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . 13
55 ovolss 18860 . . . . . . . . . . . . 13
5653, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
5746, 43syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15
5827, 29syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . 14
60 ovolun 18874 . . . . . . . . . . . . . . 15
6157, 49, 58, 36, 60syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ovollecl 18858 . . . . . . . . . . . . . 14
6359, 50, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
64 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65 undif1 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6664, 65sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 difundir 3435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7068, 69sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 difun1 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7351, 72sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7571, 74syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675uneq1d 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15
7770, 76syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . 14
78 ovolss 18860 . . . . . . . . . . . . . 14
7977, 59, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
8040, 63, 50, 79, 61letrd 8989 . . . . . . . . . . . 12
8139, 40, 45, 50, 56, 80le2addd 9406 . . . . . . . . . . 11
82 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
83 mblsplit 18907 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 43, 26, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12
8645recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13
8749recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13
8836recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13
8986, 87, 88addassd 8873 . . . . . . . . . . . 12
9085, 89eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11
9181, 90breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10
92 ovolss 18860 . . . . . . . . . . . . 13
9327, 29, 92sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
9436, 34, 31, 93, 32letrd 8989 . . . . . . . . . . 11
9536, 31, 26, 94leadd2dd 9403 . . . . . . . . . 10
9625, 37, 38, 91, 95letrd 8989 . . . . . . . . 9
9796expr 598 . . . . . . . 8
9897rexlimdva 2680 . . . . . . 7
9998ralimdva 2634 . . . . . 6
10099impcom 419 . . . . 5
10124adantl 452 . . . . . . 7
102101rexrd 8897 . . . . . 6
103 simprr 733 . . . . . 6
104 xralrple 10548 . . . . . 6
105102, 103, 104syl2anc 642 . . . . 5
106100, 105mpbird 223 . . . 4
107106expr 598 . . 3
108107ralrimiva 2639 . 2
109 ismbl2 18902 . 2
11012, 108, 109sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cpw 3638   class class class wbr 4039   cdm 4705  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  c1 8754   caddc 8756  cxr 8882   cle 8884  crp 10370  covol 18838  cvol 18839 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-ovol 18840  df-vol 18841
 Copyright terms: Public domain W3C validator