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Theorem nulmbl2 18894
Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has  vol * ( A )  =  0 while "outer measure zero" means that for any  x there is a  y containing  A with volume less than  x. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such  y is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nulmbl2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem nulmbl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10358 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3461 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  RR+  =/=  (/)
4 r19.2z 3543 . . . 4  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )
)
53, 4mpan 651 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x ) )
6 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  y )
7 mblss 18890 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  vol  ->  y 
C_  RR )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  y  C_  RR )
96, 8sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) )  ->  A  C_  RR )
109rexlimiva 2662 . . . 4  |-  ( E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  ->  A  C_  RR )
1110rexlimivw 2663 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
125, 11syl 15 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  C_  RR )
13 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  A )  C_  z
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  i^i 
A )  C_  z
)
15 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ~P RR  ->  z 
C_  RR )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  z  C_  RR )
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
18 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
20 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
\  A )  C_  z
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( z  \  A )  C_  z
)
22 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2321, 16, 17, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
2419, 23readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  e.  RR )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
2617ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  e.  RR )
27 difss 3303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
\  A )  C_  y
2827a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  y )
298adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  C_  RR )
30 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  x  e.  RR )
32 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  <_  x
)
33 ovollecl 18842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( vol
* `  y )  <_  x )  ->  ( vol * `  y )  e.  RR )
3429, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  y )  e.  RR )
35 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR  /\  ( vol * `  y )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3628, 29, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR )
3726, 36readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
3826, 31readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  x
)  e.  RR )
3919ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  e.  RR )
4023ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  e.  RR )
41 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  y )  C_  z
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  z )
4316ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
z  C_  RR )
44 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
4542, 43, 26, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  RR )
46 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  y )  C_  z
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  z )
48 ovolsscl 18845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  \  y
)  C_  z  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
4947, 43, 26, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )
5049, 36readdcld 8862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
51 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  ->  A  C_  y )
52 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  y  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( z  i^i  y
) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y ) )
5441, 43syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  i^i  y
)  C_  RR )
55 ovolss 18844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  C_  ( z  i^i  y )  /\  (
z  i^i  y )  C_  RR )  ->  ( vol * `  ( z  i^i  A ) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y
) ) )
5653, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  <_  ( vol * `  ( z  i^i  y ) ) )
5746, 43syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  y
)  C_  RR )
5827, 29syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  \  A
)  C_  RR )
5957, 58unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR )
60 ovolun 18858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  RR )  /\  ( ( y 
\  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( z  \  y ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) ) )
6157, 49, 58, 36, 60syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
62 ovollecl 18842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
)  C_  RR  /\  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  e.  RR  /\  ( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
6359, 50, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( z  \ 
y )  u.  (
y  \  A )
) )  e.  RR )
64 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  C_  ( z  u.  y
)
65 undif1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  \  y )  u.  y )  =  ( z  u.  y
)
6664, 65sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  C_  ( ( z  \ 
y )  u.  y
)
67 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
C_  ( ( z 
\  y )  u.  y )  ->  (
z  \  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
) )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  u.  y )  \  A
)
69 difundir 3422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  \  y
)  u.  y ) 
\  A )  =  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
7068, 69sseqtri 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
\  A )  C_  ( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)
71 difun1 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
\  ( y  u.  A ) )  =  ( ( z  \ 
y )  \  A
)
72 ssequn2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  y  <->  ( y  u.  A )  =  y )
7351, 72sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( y  u.  A
)  =  y )
7473difeq2d 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  (
y  u.  A ) )  =  ( z 
\  y ) )
7571, 74syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( z  \ 
y )  \  A
)  =  ( z 
\  y ) )
7675uneq1d 3328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( z 
\  y )  \  A )  u.  (
y  \  A )
)  =  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) )
7770, 76syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) ) )
78 ovolss 18844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  \  A
)  C_  ( (
z  \  y )  u.  ( y  \  A
) )  /\  (
( z  \  y
)  u.  ( y 
\  A ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
7977, 59, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  ( vol * `  ( ( z  \  y )  u.  ( y  \  A ) ) ) )
8040, 63, 50, 79, 61letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  A
) )  <_  (
( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
8139, 40, 45, 50, 56, 80le2addd 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
82 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
y  e.  dom  vol )
83 mblsplit 18891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  dom  vol  /\  z  C_  RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8482, 43, 26, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  z )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) ) )
8584oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( vol * `  (
z  \  y )
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
8645recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  i^i  y
) )  e.  CC )
8749recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( z  \  y
) )  e.  CC )
8836recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  e.  CC )
8986, 87, 88addassd 8857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( ( vol
* `  ( z  i^i  y ) )  +  ( vol * `  ( z  \  y
) ) )  +  ( vol * `  ( y  \  A
) ) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
9085, 89eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  =  ( ( vol * `  ( z  i^i  y
) )  +  ( ( vol * `  ( z  \  y
) )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) ) )
9181, 90breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) ) )
92 ovolss 18844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  \  A
)  C_  y  /\  y  C_  RR )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9327, 29, 92sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  ( vol * `  y ) )
9436, 34, 31, 93, 32letrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( vol * `  ( y  \  A
) )  <_  x
)
9536, 31, 26, 94leadd2dd 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  z )  +  ( vol * `  (
y  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9625, 37, 38, 91, 95letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  dom  vol 
/\  ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
) ) )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) )
9796expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  dom  vol )  ->  ( ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
)  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
9897rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  -> 
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
9998ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e. 
dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x
)  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
10099impcom 419 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) )
10124adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR )
102101rexrd 8881 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR* )
103 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  z )  e.  RR )
104 xralrple 10532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  e.  RR*  /\  ( vol * `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( vol * `  (
z  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( z  \  A ) ) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( vol
* `  ( z  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( z  \  A
) ) )  <_ 
( ( vol * `  z )  +  x
) ) )
105102, 103, 104syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z )  <->  A. x  e.  RR+  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  (
( vol * `  z )  +  x
) ) )
106100, 105mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  ( z  e.  ~P RR  /\  ( vol * `  z )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) )
107106expr 598 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A  C_  y  /\  ( vol * `  y
)  <_  x )  /\  z  e.  ~P RR )  ->  ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
108107ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z )  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) )
109 ismbl2 18886 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. z  e.  ~P  RR ( ( vol * `  z
)  e.  RR  ->  ( ( vol * `  ( z  i^i  A
) )  +  ( vol * `  (
z  \  A )
) )  <_  ( vol * `  z ) ) ) )
11012, 108, 109sylanbrc 645 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  dom  vol ( A 
C_  y  /\  ( vol * `  y )  <_  x )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   RR+crp 10354   vol *covol 18822   volcvol 18823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-ovol 18824  df-vol 18825
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