MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numth Unicode version

Theorem numth 8094
Description: Numeration theorem: every set can be put into one-to-one correspondence with some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
numth.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
numth  |-  E. x  e.  On  E. f  f : x -1-1-onto-> A
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem numth
StepHypRef Expression
1 numth.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21numth2 8093 . 2  |-  E. x  e.  On  x  ~~  A
3 bren 6866 . . 3  |-  ( x 
~~  A  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> A )
43rexbii 2569 . 2  |-  ( E. x  e.  On  x  ~~  A  <->  E. x  e.  On  E. f  f : x -1-1-onto-> A )
52, 4mpbi 201 1  |-  E. x  e.  On  E. f  f : x -1-1-onto-> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1533    e. wcel 1688   E.wrex 2545   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024   Oncon0 4391   -1-1-onto->wf1o 5220    ~~ cen 6855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-ac2 8084
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-suc 4397  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-en 6859  df-card 7567  df-ac 7738
  Copyright terms: Public domain W3C validator