Theorem numth2 4785

Description: Numeration theorem: any set is equinumerous to some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84.

Assertion

Ref	Expression
numth2	|- E.x e. On x ~~ A

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem numth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2623	. . . 4 |- (y = A -> (x ~~ y <-> x ~~ A))
2	1	rexbidv 1664	. . 3 |- (y = A -> (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On x ~~ A))
3		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
4	3	numth 4784	. . . 4 |- E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y
5	3	bren 4377	. . . . 5 |- (x ~~ y <-> E.z z:x-1-1-onto->y)
6	5	rexbii 1668	. . . 4 |- (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y)
7	4, 6	mpbir 190	. . 3 |- E.x e. On x ~~ y
8	2, 7	vtoclg 1847	. 2 |- (A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
9		0elon 3022	. . . . 5 |- (/) e. On
10		enrefg 4390	. . . . 5 |- ((/) e. On -> (/) ~~ (/))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- (/) ~~ (/)
12		brprc 2661	. . . 4 |- (-. A e. V -> ((/) ~~ A <-> (/) ~~ (/)))
13	11, 12	mpbiri 194	. . 3 |- (-. A e. V -> (/) ~~ A)
14		breq1 2622	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x ~~ A <-> (/) ~~ A))
15	14	rcla4ev 1877	. . . 4 |- (((/) e. On /\ (/) ~~ A) -> E.x e. On x ~~ A)
16	9, 15	mpan 695	. . 3 |- ((/) ~~ A -> E.x e. On x ~~ A)
17	13, 16	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
18	8, 17	pm2.61i 126	1 |- E.x e. On x ~~ A

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646  Vcvv 1811  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  numthcor 4786  cardval 4826

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-en 4368

Copyright terms: Public domain