Theorem numth2 4931

Description: Numeration theorem: any set is equinumerous to some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84.

Assertion

Ref	Expression
numth2	|- E.x e. On x ~~ A

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem numth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2696	. . . 4 |- (y = A -> (x ~~ y <-> x ~~ A))
2	1	rexbidv 1710	. . 3 |- (y = A -> (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On x ~~ A))
3		visset 1859	. . . . 5 |- y e. V
4	3	numth 4930	. . . 4 |- E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y
5	3	bren 4518	. . . . 5 |- (x ~~ y <-> E.z z:x-1-1-onto->y)
6	5	rexbii 1714	. . . 4 |- (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y)
7	4, 6	mpbir 188	. . 3 |- E.x e. On x ~~ y
8	2, 7	vtoclg 1893	. 2 |- (A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
9		0elon 3026	. . . . 5 |- (/) e. On
10		enrefg 4531	. . . . 5 |- ((/) e. On -> (/) ~~ (/))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- (/) ~~ (/)
12		brprc 2734	. . . 4 |- (-. A e. V -> ((/) ~~ A <-> (/) ~~ (/)))
13	11, 12	mpbiri 192	. . 3 |- (-. A e. V -> (/) ~~ A)
14		breq1 2695	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x ~~ A <-> (/) ~~ A))
15	14	rcla4ev 1923	. . . 4 |- (((/) e. On /\ (/) ~~ A) -> E.x e. On x ~~ A)
16	9, 15	mpan 699	. . 3 |- ((/) ~~ A -> E.x e. On x ~~ A)
17	13, 16	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
18	8, 17	pm2.61i 124	1 |- E.x e. On x ~~ A

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  E.wrex 1692  Vcvv 1857  (/)c0 2332   class class class wbr 2692  Oncon0 2975  -1-1-onto->wf1o 3262   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  numthcor 4932  cardval 4973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-en 4509

Copyright terms: Public domain