MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numth2 Structured version   Unicode version

Theorem numth2 8344
Description: Numeration theorem: any set is equinumerous to some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84. (Contributed by NM, 20-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
numth.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
numth2  |-  E. x  e.  On  x  ~~  A
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem numth2
StepHypRef Expression
1 numth.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 numth3 8343 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  dom  card )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  A  e. 
dom  card
4 isnum2 7825 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. x  e.  On  x  ~~  A
)
53, 4mpbi 200 1  |-  E. x  e.  On  x  ~~  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   E.wrex 2699   _Vcvv 2949   class class class wbr 4205   Oncon0 4574   dom cdm 4871    ~~ cen 7099   cardccrd 7815
This theorem is referenced by:  numth  8345  numthcor  8367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-ac2 8336
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-suc 4580  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-riota 6542  df-recs 6626  df-en 7103  df-card 7819  df-ac 7990
  Copyright terms: Public domain W3C validator