Theorem numthcor 4932

Description: Any set is strictly dominated by some ordinal.

Assertion

Ref	Expression
numthcor	|- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem numthcor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2695	. . 3 |- (y = A -> (y ~< x <-> A ~< x))
2	1	rexbidv 1710	. 2 |- (y = A -> (E.x e. On y ~< x <-> E.x e. On A ~< x))
3		numth2 4931	. . 3 |- E.x e. On x ~~ P~y
4		visset 1859	. . . . . . 7 |- y e. V
5	4	pwex 2823	. . . . . 6 |- P~y e. V
6	5	ensym 4553	. . . . 5 |- (x ~~ P~y -> P~y ~~ x)
7	4	canth2 4629	. . . . . 6 |- y ~< P~y
8		visset 1859	. . . . . . 7 |- x e. V
9		sdomentr 4615	. . . . . . 7 |- (x e. V -> ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x)
11	7, 10	mpan 699	. . . . 5 |- (P~y ~~ x -> y ~< x)
12	6, 11	syl 10	. . . 4 |- (x ~~ P~y -> y ~< x)
13	12	r19.22si 1780	. . 3 |- (E.x e. On x ~~ P~y -> E.x e. On y ~< x)
14	3, 13	ax-mp 7	. 2 |- E.x e. On y ~< x
15	2, 14	vtoclg 1893	1 |- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wrex 1692  Vcvv 1857  P~cpw 2458   class class class wbr 2692  Oncon0 2975   ~~ cen 4505   ~< csdm 4507

This theorem is referenced by:  cardmin 5010  alephsuc 5016  alephordlem1 5022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain