Theorem numthcor 4796

Description: Any set is strictly dominated by some ordinal.

Assertion

Ref	Expression
numthcor	|- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem numthcor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2627	. . 3 |- (y = A -> (y ~< x <-> A ~< x))
2	1	rexbidv 1667	. 2 |- (y = A -> (E.x e. On y ~< x <-> E.x e. On A ~< x))
3		numth2 4795	. . 3 |- E.x e. On x ~~ P~y
4		visset 1816	. . . . . . 7 |- y e. V
5	4	pwex 2751	. . . . . 6 |- P~y e. V
6	5	ensym 4418	. . . . 5 |- (x ~~ P~y -> P~y ~~ x)
7	4	canth2 4490	. . . . . 6 |- y ~< P~y
8		visset 1816	. . . . . . 7 |- x e. V
9		sdomentr 4476	. . . . . . 7 |- (x e. V -> ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x)
11	7, 10	mpan 697	. . . . 5 |- (P~y ~~ x -> y ~< x)
12	6, 11	syl 10	. . . 4 |- (x ~~ P~y -> y ~< x)
13	12	r19.22si 1737	. . 3 |- (E.x e. On x ~~ P~y -> E.x e. On y ~< x)
14	3, 13	ax-mp 7	. 2 |- E.x e. On y ~< x
15	2, 14	vtoclg 1850	1 |- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  Vcvv 1814  P~cpw 2405   class class class wbr 2624  Oncon0 2954   ~~ cen 4370   ~< csdm 4372

This theorem is referenced by:  cardmin 4871  alephsuc 4877  alephordlem1 4883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376

Copyright terms: Public domain