MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Structured version   Unicode version

Theorem numthcor 8379
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem numthcor
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4218 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  ~<  x  <->  A  ~<  x ) )
21rexbidv 2728 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  On  y  ~<  x  <->  E. x  e.  On  A  ~<  x
) )
3 vex 2961 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43pwex 4385 . . . 4  |-  ~P y  e.  _V
54numth2 8356 . . 3  |-  E. x  e.  On  x  ~~  ~P y
63canth2 7263 . . . . 5  |-  y  ~<  ~P y
7 ensym 7159 . . . . 5  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  ~P y  ~~  x )
8 sdomentr 7244 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<  ~P y  /\  ~P y  ~~  x
)  ->  y  ~<  x )
96, 7, 8sylancr 646 . . . 4  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  y  ~<  x )
109reximi 2815 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  x  ~~  ~P y  ->  E. x  e.  On  y  ~<  x
)
115, 10ax-mp 5 . 2  |-  E. x  e.  On  y  ~<  x
122, 11vtoclg 3013 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215   Oncon0 4584    ~~ cen 7109    ~< csdm 7111
This theorem is referenced by:  cardmin  8444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-ac2 8348
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-card 7831  df-ac 8002
  Copyright terms: Public domain W3C validator