Theorem nv1 8304

Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one.

Hypotheses

Ref	Expression
nv1.1	|- X = (Base` U)
nv1.4	|- S = (.s` U)
nv1.5	|- Z = (0v` U)
nv1.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nv1	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = 1)

Proof of Theorem nv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nv1.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nv1.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
3		nv1.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	1, 2, 3	nvsge0 8291	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ ((1 / (N` A)) e. RR /\ 0 <_ (1 / (N` A))) /\ A e. X) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = ((1 / (N` A)) x. (N` A)))
5		3simp1 788	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> U e. NrmCVec)
6		rerecclt 5803	. . . . 5 |- (((N` A) e. RR /\ (N` A) =/= 0) -> (1 / (N` A)) e. RR)
7	1, 3	nvcl 8287	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
8	7	3adant3 799	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` A) e. RR)
9		nv1.5	. . . . . . . . 9 |- Z = (0v` U)
10	1, 9, 3	nvz 8297	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) = 0 <-> A = Z))
11	10	necon3bid 1601	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) =/= 0 <-> A =/= Z))
12	11	biimpar 417	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X) /\ A =/= Z) -> (N` A) =/= 0)
13	12	3impa 828	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` A) =/= 0)
14	6, 8, 13	sylanc 471	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (1 / (N` A)) e. RR)
15		1re 5435	. . . . . 6 |- 1 e. RR
16		0re 5440	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
17		lt01 5680	. . . . . . 7 |- 0 < 1
18	16, 15, 17	ltlei 5581	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
19		divge0t 5856	. . . . . 6 |- (((1 e. RR /\ 0 <_ 1) /\ ((N` A) e. RR /\ 0 < (N` A))) -> 0 <_ (1 / (N` A)))
20	15, 18, 19	mpanl12 708	. . . . 5 |- (((N` A) e. RR /\ 0 < (N` A)) -> 0 <_ (1 / (N` A)))
21	1, 9, 3	nvgt0 8303	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A =/= Z <-> 0 < (N` A)))
22	21	biimp3a 919	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> 0 < (N` A))
23	20, 8, 22	sylanc 471	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> 0 <_ (1 / (N` A)))
24	14, 23	jca 288	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> ((1 / (N` A)) e. RR /\ 0 <_ (1 / (N` A))))
25		3simp2 789	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> A e. X)
26	4, 5, 24, 25	syl3anc 858	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = ((1 / (N` A)) x. (N` A)))
27		axmulcom 5276	. . 3 |- (((1 / (N` A)) e. CC /\ (N` A) e. CC) -> ((1 / (N` A)) x. (N` A)) = ((N` A) x. (1 / (N` A))))
28	14	recnd 5315	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (1 / (N` A)) e. CC)
29	7	recnd 5315	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. CC)
30	29	3adant3 799	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` A) e. CC)
31	27, 28, 30	sylanc 471	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> ((1 / (N` A)) x. (N` A)) = ((N` A) x. (1 / (N` A))))
32		recidt 5735	. . 3 |- (((N` A) e. CC /\ (N` A) =/= 0) -> ((N` A) x. (1 / (N` A))) = 1)
33	32, 30, 13	sylanc 471	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> ((N` A) x. (1 / (N` A))) = 1)
34	26, 31, 33	3eqtrd 1511	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  .scns 8206  0vcn0v 8207  normcnm 8209

This theorem is referenced by:  nmlno0lem 8453  nmblolbii 8459  ubthlem10 8538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain