Theorem nv2 8238

Description: A vector plus itself is two times the vector.

Hypotheses

Ref	Expression
nvdi.1	|- X = (Base` U)
nvdi.2	|- G = (+v` U)
nvdi.4	|- S = (.s` U)

Assertion

Ref	Expression
nv2	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (AGA) = (2SA))

Proof of Theorem nv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvdi.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
2	1	vafval 8207	. . 3 |- G = (1st` (1st` U))
3		nvdi.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
4	3	smfval 8209	. . 3 |- S = (2nd` (1st` U))
5		nvdi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
6	5, 1	bafval 8208	. . 3 |- X = ran G
7	2, 4, 6	vc2 8159	. 2 |- (((1st` U) e. CVec /\ A e. X) -> (AGA) = (2SA))
8		eqid 1475	. . 3 |- (1st` U) = (1st` U)
9	8	nvvc 8219	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (1st` U) e. CVec)
10	7, 9	sylan 448	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (AGA) = (2SA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  1stc1st 4074  2c2 5922  CVeccvc 8149  NrmCVeccnv 8188  +vcpv 8189  Basecba 8190  .scns 8191

This theorem is referenced by:  minveclem19 8547  minveclem35 8563

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-enr 5153  df-nr 5154  df-0r 5158  df-1r 5159  df-c 5227  df-1 5229  df-r 5231  df-2 5931  df-grp 8020  df-gid 8021  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-nm 8204

Copyright terms: Public domain