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Theorem nvabs 21232
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvabs.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvabs.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
nvabs.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvabs  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvabs.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 nvabs.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 nvabs.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
51, 2, 3, 4nvdif 21224 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
65negeqd 9042 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  -u ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
71, 4nvcl 21218 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
873adant2 976 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
91, 4nvcl 21218 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
1093adant3 977 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
11 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
12 neg1cn 9809 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
131, 3nvscl 21177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
1412, 13mp3an2 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
15143adant2 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
161, 2nvgcl 21169 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
1715, 16syld3an3 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
18173com23 1159 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
191, 4nvcl 21218 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2011, 18, 19syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2120renegcld 9206 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
221, 2nvcom 21170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
2318, 22syld3an3 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
24 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
2514adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( -u 1 S A )  e.  X
)
26 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2724, 25, 263jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X ) )
281, 2nvass 21171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
2927, 28syldan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
30293impb 1149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) ) )
31 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
321, 2, 3, 31nvlinv 21205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
33323adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
3433oveq2d 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) )  =  ( B G ( 0vec `  U
) ) )
351, 2, 31nv0rid 21186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
36353adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
3730, 34, 363eqtrd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  B )
3823, 37eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  B )
3938fveq2d 5490 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( N `
 B ) )
401, 2, 4nvtri 21229 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4118, 40syld3an3 1229 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4239, 41eqbrtrrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
4310recnd 8857 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
4420recnd 8857 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC )
4543, 44subnegd 9160 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4642, 45breqtrrd 4051 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
478, 10, 21, 46lesubd 9372 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
486, 47eqbrtrd 4045 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
49 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
501, 3nvscl 21177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
5112, 50mp3an2 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
52513adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
53 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
541, 2nvass 21171 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( (
-u 1 S B ) G B ) ) )
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) ) )
561, 2, 3, 31nvlinv 21205 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
57563adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
5857oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) )  =  ( A G ( 0vec `  U
) ) )
591, 2, 31nv0rid 21186 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
60593adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
6155, 58, 603eqtrd 2321 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  A )
6261fveq2d 5490 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  =  ( N `  A
) )
631, 2nvgcl 21169 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
6452, 63syld3an3 1229 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
651, 2, 4nvtri 21229 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6664, 65syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6762, 66eqbrtrrd 4047 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  <_  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
681, 4nvcl 21218 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
6911, 64, 68syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
7010, 8, 69lesubaddd 9365 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  A )  -  ( N `  B )
)  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( N `  A )  <_  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) ) )
7167, 70mpbird 225 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
7210, 8resubcld 9207 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  e.  RR )
7372, 69absled 11908 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) ) )  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) )  /\  ( ( N `  A )  -  ( N `  B ) )  <_ 
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) )
7448, 71, 73mpbir2and 890 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   1c1 8734    + caddc 8736    <_ cle 8864    - cmin 9033   -ucneg 9034   abscabs 11714   NrmCVeccnv 21133   +vcpv 21134   BaseSetcba 21135   .s
OLDcns 21136   0veccn0v 21137   normCVcnmcv 21139
This theorem is referenced by:  nmcvcn  21261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-grpo 20851  df-gid 20852  df-ginv 20853  df-ablo 20942  df-vc 21095  df-nv 21141  df-va 21144  df-ba 21145  df-sm 21146  df-0v 21147  df-nmcv 21149
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