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Theorem nvabs 22145
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvabs.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvabs.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
nvabs.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvabs  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvabs.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 nvabs.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 nvabs.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
51, 2, 3, 4nvdif 22137 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
65negeqd 9284 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  -u ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
71, 4nvcl 22131 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
873adant2 976 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
91, 4nvcl 22131 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
1093adant3 977 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
11 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
12 neg1cn 10051 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
131, 3nvscl 22090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
1412, 13mp3an2 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
15143adant2 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
161, 2nvgcl 22082 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
1715, 16syld3an3 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
18173com23 1159 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
191, 4nvcl 22131 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2011, 18, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2120renegcld 9448 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
221, 2nvcom 22083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
2318, 22syld3an3 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
2514adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( -u 1 S A )  e.  X
)
26 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2724, 25, 263jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X ) )
281, 2nvass 22084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
2927, 28syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
30293impb 1149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) ) )
31 eqid 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
321, 2, 3, 31nvlinv 22118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
33323adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
3433oveq2d 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) )  =  ( B G ( 0vec `  U
) ) )
351, 2, 31nv0rid 22099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
36353adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
3730, 34, 363eqtrd 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  B )
3823, 37eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  B )
3938fveq2d 5718 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( N `
 B ) )
401, 2, 4nvtri 22142 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4118, 40syld3an3 1229 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4239, 41eqbrtrrd 4221 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
4310recnd 9098 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
4420recnd 9098 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC )
4543, 44subnegd 9402 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4642, 45breqtrrd 4225 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
478, 10, 21, 46lesubd 9614 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
486, 47eqbrtrd 4219 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
49 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
501, 3nvscl 22090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
5112, 50mp3an2 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
52513adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
53 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
541, 2nvass 22084 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( (
-u 1 S B ) G B ) ) )
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) ) )
561, 2, 3, 31nvlinv 22118 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
57563adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
5857oveq2d 6083 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) )  =  ( A G ( 0vec `  U
) ) )
591, 2, 31nv0rid 22099 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
60593adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
6155, 58, 603eqtrd 2466 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  A )
6261fveq2d 5718 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  =  ( N `  A
) )
631, 2nvgcl 22082 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
6452, 63syld3an3 1229 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
651, 2, 4nvtri 22142 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6664, 65syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6762, 66eqbrtrrd 4221 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  <_  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
681, 4nvcl 22131 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
6911, 64, 68syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
7010, 8, 69lesubaddd 9607 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  A )  -  ( N `  B )
)  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( N `  A )  <_  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) ) )
7167, 70mpbird 224 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
7210, 8resubcld 9449 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  e.  RR )
7372, 69absled 12216 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) ) )  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) )  /\  ( ( N `  A )  -  ( N `  B ) )  <_ 
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) )
7448, 71, 73mpbir2and 889 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   1c1 8975    + caddc 8977    <_ cle 9105    - cmin 9275   -ucneg 9276   abscabs 12022   NrmCVeccnv 22046   +vcpv 22047   BaseSetcba 22048   .s
OLDcns 22049   0veccn0v 22050   normCVcnmcv 22052
This theorem is referenced by:  nmcvcn  22174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-rp 10597  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-grpo 21762  df-gid 21763  df-ginv 21764  df-ablo 21853  df-vc 22008  df-nv 22054  df-va 22057  df-ba 22058  df-sm 22059  df-0v 22060  df-nmcv 22062
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