Theorem nvadd12 8206

Description: Commutative/associative law for vector addition.

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	|- X = (Base` U)
nvgcl.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvadd12	|- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AG(BGC)) = (BG(AGC)))

Proof of Theorem nvadd12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		nvgcl.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
3	1, 2	nvcom 8204	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))
4	3	3adant3r3 843	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AGB) = (BGA))
5	4	opreq1d 3970	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)GC) = ((BGA)GC))
6	1, 2	nvass 8205	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)GC) = (AG(BGC)))
7	1, 2	nvass 8205	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (B e. X /\ A e. X /\ C e. X)) -> ((BGA)GC) = (BG(AGC)))
8		3ancoma 781	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) <-> (B e. X /\ A e. X /\ C e. X))
9	7, 8	sylan2b 452	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((BGA)GC) = (BG(AGC)))
10	5, 6, 9	3eqtr3d 1513	1 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AG(BGC)) = (BG(AGC)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  NrmCVeccnv 8167  +vcpv 8168  Basecba 8169

This theorem is referenced by:  nvsubadd 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fo 3192  df-fv 3194  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-grp 7999  df-gid 8000  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183

Copyright terms: Public domain