Theorem nvaddsub4 8281

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction.

Hypotheses

Ref	Expression
nvsubadd.1	|- X = (Base` U)
nvsubadd.2	|- G = (+v` U)
nvsubadd.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvaddsub4	|- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((AGB)M(CGD)) = ((AMC)G(BMD)))

Proof of Theorem nvaddsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5269	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
2	1	negcl 5369	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
3		nvsubadd.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
4		nvsubadd.2	. . . . . . 7 |- G = (+v` U)
5		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (.s` U) = (.s` U)
6	3, 4, 5	nvdi 8251	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ C e. X /\ D e. X)) -> (-u1(.s` U)(CGD)) = ((-u1(.s` U)C)G(-u1(.s` U)D)))
7	2, 6	mp3anr1 913	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (-u1(.s` U)(CGD)) = ((-u1(.s` U)C)G(-u1(.s` U)D)))
8	7	3adant2 798	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (-u1(.s` U)(CGD)) = ((-u1(.s` U)C)G(-u1(.s` U)D)))
9	8	opreq2d 3976	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((AGB)G(-u1(.s` U)(CGD))) = ((AGB)G((-u1(.s` U)C)G(-u1(.s` U)D))))
10	3, 4	nvadd4 8246	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ ((-u1(.s` U)C) e. X /\ (-u1(.s` U)D) e. X)) -> ((AGB)G((-u1(.s` U)C)G(-u1(.s` U)D))) = ((AG(-u1(.s` U)C))G(BG(-u1(.s` U)D))))
11	3, 5	nvscl 8247	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ C e. X) -> (-u1(.s` U)C) e. X)
12	2, 11	mp3an2 904	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. X) -> (-u1(.s` U)C) e. X)
13	3, 5	nvscl 8247	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ D e. X) -> (-u1(.s` U)D) e. X)
14	2, 13	mp3an2 904	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ D e. X) -> (-u1(.s` U)D) e. X)
15	12, 14	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ C e. X) /\ (U e. NrmCVec /\ D e. X)) -> ((-u1(.s` U)C) e. X /\ (-u1(.s` U)D) e. X))
16	15	anandis 512	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((-u1(.s` U)C) e. X /\ (-u1(.s` U)D) e. X))
17	16	3adant2 798	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((-u1(.s` U)C) e. X /\ (-u1(.s` U)D) e. X))
18	10, 17	syld3an3 870	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((AGB)G((-u1(.s` U)C)G(-u1(.s` U)D))) = ((AG(-u1(.s` U)C))G(BG(-u1(.s` U)D))))
19	9, 18	eqtrd 1507	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((AGB)G(-u1(.s` U)(CGD))) = ((AG(-u1(.s` U)C))G(BG(-u1(.s` U)D))))
20		nvsubadd.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
21	3, 4, 5, 20	nvmval 8263	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (AGB) e. X /\ (CGD) e. X) -> ((AGB)M(CGD)) = ((AGB)G(-u1(.s` U)(CGD))))
22		3simp1 788	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> U e. NrmCVec)
23	3, 4	nvgcl 8239	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
24	23	3expb 834	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (AGB) e. X)
25	24	3adant3 799	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (AGB) e. X)
26	3, 4	nvgcl 8239	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. X /\ D e. X) -> (CGD) e. X)
27	26	3expb 834	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (CGD) e. X)
28	27	3adant2 798	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (CGD) e. X)
29	21, 22, 25, 28	syl3anc 858	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((AGB)M(CGD)) = ((AGB)G(-u1(.s` U)(CGD))))
30	3, 4, 5, 20	nvmval 8263	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ C e. X) -> (AMC) = (AG(-u1(.s` U)C)))
31	30	3adant3r 857	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (AMC) = (AG(-u1(.s` U)C)))
32	31	3adant2r 855	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (AMC) = (AG(-u1(.s` U)C)))
33	3, 4, 5, 20	nvmval 8263	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ D e. X) -> (BMD) = (BG(-u1(.s` U)D)))
34	33	3adant3l 856	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (BMD) = (BG(-u1(.s` U)D)))
35	34	3adant2l 854	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> (BMD) = (BG(-u1(.s` U)D)))
36	32, 35	opreq12d 3978	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((AMC)G(BMD)) = ((AG(-u1(.s` U)C))G(BG(-u1(.s` U)D))))
37	19, 29, 36	3eqtr4d 1517	1 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X) /\ (C e. X /\ D e. X)) -> ((AGB)M(CGD)) = ((AMC)G(BMD)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235  -ucneg 5293  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  -vcnsb 8208

This theorem is referenced by:  minveclem19 8563  minveclem35 8579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain