Theorem nvaddsubass 8274

Description: Associative-type law for vector addition and subtraction.

Hypotheses

Ref	Expression
nvsubadd.1	|- X = (Base` U)
nvsubadd.2	|- G = (+v` U)
nvsubadd.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvaddsubass	|- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)MC) = (AG(BMC)))

Proof of Theorem nvaddsubass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvsubadd.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nvsubadd.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8219	. . 3 |- X = ran G
4		nvsubadd.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
5	2, 4	vsfval 8250	. . 3 |- M = ( /g ` G)
6	3, 5	grpmuldivass 8084	. 2 |- ((G e. Grp /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)MC) = (AG(BMC)))
7	2	nvgrp 8232	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)
8	6, 7	sylan 450	1 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)MC) = (AG(BMC)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  -vcnsb 8204

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain