Theorem nvcli 8288

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number.

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	|- X = (Base` U)
nvf.6	|- N = (norm` U)
nvcli.9	|- U e. NrmCVec
nvcli.7	|- A e. X

Assertion

Ref	Expression
nvcli	|- (N` A) e. RR

Proof of Theorem nvcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcli.9	. 2 |- U e. NrmCVec
2		nvcli.7	. 2 |- A e. X
3		nvf.1	. . 3 |- X = (Base` U)
4		nvf.6	. . 3 |- N = (norm` U)
5	3, 4	nvcl 8287	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
6	1, 2, 5	mp2an 697	1 |- (N` A) e. RR

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  RRcr 5233  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  normcnm 8209

This theorem is referenced by:  sm1cnilem 8347  ip0i 8484  ip1ilem 8485  ipasslem10 8499  siilem1 8511  siii 8513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain