Theorem nvcom 8180

Description: The vector addition (group) operation is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	|- X = (Base` U)
nvgcl.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvcom	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))

Proof of Theorem nvcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nvgcl.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8161	. . 3 |- X = ran G
4	3	ablcom 8039	. 2 |- ((G e. Abel /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))
5	2	nvabl 8175	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Abel)
6	4, 5	syl3an1 857	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  Abelcabl 8035  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143

This theorem is referenced by:  nvadd12 8182  nvpncan 8217  nvsubsub23 8222  nvdif 8232  nvpi 8233  nvabs 8240  ipcj 8301  hlcom 8532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-grp 7971  df-gid 7972  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157

Copyright terms: Public domain