Theorem nvdif 8289

Description: The norm of the difference between two vectors.

Hypotheses

Ref	Expression
nvdif.1	|- X = (Base` U)
nvdif.2	|- G = (+v` U)
nvdif.4	|- S = (.s` U)
nvdif.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvdif	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AG(-u1SB))) = (N` (BG(-u1SA))))

Proof of Theorem nvdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvdif.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
2		nvdif.2	. . . . . 6 |- G = (+v` U)
3		nvdif.4	. . . . . 6 |- S = (.s` U)
4	1, 2, 3	nvdi 8247	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ B e. X /\ (-u1SA) e. X)) -> (-u1S(BG(-u1SA))) = ((-u1SB)G(-u1S(-u1SA))))
5		3simp1 790	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> U e. NrmCVec)
6		ax1cn 5281	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
7	6	negcl 5381	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
8	7	a1i 8	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> -u1 e. CC)
9		3simp3 792	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
10	1, 3	nvscl 8243	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
11	7, 10	mp3an2 906	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
12	11	3adant3 801	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1SA) e. X)
13	8, 9, 12	3jca 821	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1 e. CC /\ B e. X /\ (-u1SA) e. X))
14	4, 5, 13	sylanc 473	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1S(BG(-u1SA))) = ((-u1SB)G(-u1S(-u1SA))))
15	1, 3	nvnegneg 8267	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1S(-u1SA)) = A)
16	15	3adant3 801	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1S(-u1SA)) = A)
17	16	opreq2d 3982	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((-u1SB)G(-u1S(-u1SA))) = ((-u1SB)GA))
18	1, 2	nvcom 8236	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1SB) e. X /\ A e. X) -> ((-u1SB)GA) = (AG(-u1SB)))
19	1, 3	nvscl 8243	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (-u1SB) e. X)
20	7, 19	mp3an2 906	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1SB) e. X)
21	20	3adant2 800	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1SB) e. X)
22		3simp2 791	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
23	18, 5, 21, 22	syl3anc 860	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((-u1SB)GA) = (AG(-u1SB)))
24	14, 17, 23	3eqtrd 1514	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1S(BG(-u1SA))) = (AG(-u1SB)))
25	24	fveq2d 3734	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (-u1S(BG(-u1SA)))) = (N` (AG(-u1SB))))
26		nvdif.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
27	1, 3, 26	nvm1 8288	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (BG(-u1SA)) e. X) -> (N` (-u1S(BG(-u1SA)))) = (N` (BG(-u1SA))))
28	1, 2	nvgcl 8235	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ (-u1SA) e. X) -> (BG(-u1SA)) e. X)
29	28, 5, 9, 12	syl3anc 860	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (BG(-u1SA)) e. X)
30	27, 5, 29	sylanc 473	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (-u1S(BG(-u1SA)))) = (N` (BG(-u1SA))))
31	25, 30	eqtr3d 1512	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AG(-u1SB))) = (N` (BG(-u1SA))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  -ucneg 5305  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  normcnm 8205

This theorem is referenced by:  nvsub 8291  nvabs 8297  imsmetlem 8319  ipcj 8363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain