HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nvex 8226
Description: The components of a normed complex vector space are sets.
Assertion
Ref Expression
nvex |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
Proof of Theorem nvex
StepHypRef Expression
1 nvvcop 8209 . . . 4 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> <.G, S>. e. CVec)
2 vcex 8195 . . . 4 |- (<.G, S>. e. CVec -> (G e. V /\ S e. V))
31, 2syl 10 . . 3 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. V /\ S e. V))
4 nvvcop 8209 . . . . . . . . . 10 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> <.G, S>. e. CVec)
54, 2syl 10 . . . . . . . . 9 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (G e. V /\ S e. V))
6 opex 2788 . . . . . . . . 9 |- <.G, S>. e. V
75, 6jctir 293 . . . . . . . 8 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> ((G e. V /\ S e. V) /\ <.G, S>. e. V))
8 df-3an 779 . . . . . . . 8 |- ((G e. V /\ S e. V /\ <.G, S>. e. V) <-> ((G e. V /\ S e. V) /\ <.G, S>. e. V))
97, 8sylibr 200 . . . . . . 7 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (G e. V /\ S e. V /\ <.G, S>. e. V))
10 eqid 1478 . . . . . . . . 9 |- ran G = ran G
11 eqid 1478 . . . . . . . . 9 |- (Id` G) = (Id` G)
1210, 11isnvlem 8225 . . . . . . . 8 |- ((G e. V /\ S e. V /\ <.G, S>. e. V) -> (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ <.G, S>.:ran G-->RR /\ A.x e. ran G(((<.G, S>.` x) = 0 -> x = (Id` G)) /\ A.y e. CC (<.G, S>.` (ySx)) = ((abs` y) x. (<.G, S>.` x)) /\ A.y e. ran G(<.G, S>.` (xGy)) <_ ((<.G, S>.` x) + (<.G, S>.` y))))))
13 3simp2 791 . . . . . . . 8 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ <.G, S>.:ran G-->RR /\ A.x e. ran G(((<.G, S>.` x) = 0 -> x = (Id` G)) /\ A.y e. CC (<.G, S>.` (ySx)) = ((abs` y) x. (<.G, S>.` x)) /\ A.y e. ran G(<.G, S>.` (xGy)) <_ ((<.G, S>.` x) + (<.G, S>.` y)))) -> <.G, S>.:ran G-->RR)
1412, 13syl6bi 214 . . . . . . 7 |- ((G e. V /\ S e. V /\ <.G, S>. e. V) -> (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> <.G, S>.:ran G-->RR))
159, 14mpcom 49 . . . . . 6 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> <.G, S>.:ran G-->RR)
16 vcoprne 8194 . . . . . . . . 9 |- (<.G, S>. e. CVec -> G =/= S)
17 df-ne 1590 . . . . . . . . 9 |- (G =/= S <-> -. G = S)
1816, 17sylib 198 . . . . . . . 8 |- (<.G, S>. e. CVec -> -. G = S)
194, 18syl 10 . . . . . . 7 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> -. G = S)
20 funopg 3553 . . . . . . . . . . 11 |- ((S e. V /\ Fun <.G, S>.) -> G = S)
2120ex 373 . . . . . . . . . 10 |- (S e. V -> (Fun <.G, S>. -> G = S))
2221adantl 390 . . . . . . . . 9 |- ((G e. V /\ S e. V) -> (Fun <.G, S>. -> G = S))
235, 22syl 10 . . . . . . . 8 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (Fun <.G, S>. -> G = S))
24 ffun 3635 . . . . . . . 8 |- (<.G, S>.:ran G-->RR -> Fun <.G, S>.)
2523, 24syl5 21 . . . . . . 7 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (<.G, S>.:ran G-->RR -> G = S))
2619, 25mtod 108 . . . . . 6 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> -. <.G, S>.:ran G-->RR)
2715, 26pm2.65i 135 . . . . 5 |- -. <.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec
28 opprc2 2503 . . . . . 6 |- (-. N e. V -> <.<.G, S>., N>. = <.<.G, S>., <.G, S>.>.)
2928eleq1d 1543 . . . . 5 |- (-. N e. V -> (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> <.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec))
3027, 29mtbiri 719 . . . 4 |- (-. N e. V -> -. <.<.G, S>., N>. e. NrmCVec)
3130a3i 74 . . 3 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> N e. V)
323, 31jca 288 . 2 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> ((G e. V /\ S e. V) /\ N e. V))
33 df-3an 779 . 2 |- ((G e. V /\ S e. V /\ N e. V) <-> ((G e. V /\ S e. V) /\ N e. V))
3432, 33sylibr 200 1 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  ran crn 3177  Fun wfun 3182  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307  abscabs 6751  Idcgi 8031  CVeccvc 8160  NrmCVeccnv 8199
This theorem is referenced by:  isnv 8227  h2hva 8838  h2hnm 8840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207
Copyright terms: Public domain